Dúvida em Integral

por **Cleyson007** » Ter Fev 28, 2012 17:36

Boa tarde!

Calcule $\int_{0}^{2}\left[\int_{1}^{3}{x}^{2}y\,dy \right]dx$

Gabarito: $\frac{32}{3}$

Se alguém puder ajudar, agradeço.

por **LuizAquino** » Ter Fev 28, 2012 17:56

Cleyson007 escreveu:Calcule $\int_{0}^{2}\left[\int_{1}^{3}{x}^{2}y\,dy \right]dx$

Gabarito: $\frac{32}{3}$

O que você já tentou fazer?

Você tem dúvida em algum ponto específico do cálculo dessa integral?

por **Cleyson007** » Ter Fev 28, 2012 18:14

Boa tarde Luiz Aquino!

Resolvi mas não encontrei a mesma resposta que o gabarito apresenta como correto.

Não postei minha resolução porque não consegui fazer no LateX o intervalo ao resolver a parte interna da integral (segunda integral).

Seria mais ou menos isso --> |3

Pode me ajudar?

por **LuizAquino** » Ter Fev 28, 2012 18:47

Cleyson007 escreveu:Resolvi mas não encontrei a mesma resposta que o gabarito apresenta como correto.

Eis a primeira parte da resolução:

$\int_{0}^{2}\left[\int_{1}^{3}{x}^{2}y\,dy \right]\,dx = \int_{0}^{2}\left[{x}^{2}\frac{y^2}{2}\right]_1^3 \,dx$

$= \int_{0}^{2}\frac{9}{2}x^2 - \frac{1}{2}x^2\, dx$

Agora tente finalizar.

por **Cleyson007** » Qui Mar 01, 2012 16:12

Boa tarde Luiz Aquino!

Luiz, na primeira parte estamos derivando em função de y, correto? Se derivamos em função de y, o x é constante, não é mesmo?

Em meu ponto de vista seria:

$\left[{x}^{2}y\frac{{y}^{2}}{2} \right]\Leftrightarrow\left[\frac{{x}^{2}{y}^{3}}{2} \right]$

Por que não pode ser escrito da forma que escrevi acima?

Até mais.

por **LuizAquino** » Qui Mar 01, 2012 16:27

Cleyson007 escreveu:Luiz, na primeira parte estamos derivando em função de y, correto? Se derivamos em função de y, o x é constante, não é mesmo?

Sim, correto.

Cleyson007 escreveu:Em meu ponto de vista seria:

$\left[{x}^{2}y\frac{{y}^{2}}{2} \right]\Leftrightarrow\left[\frac{{x}^{2}{y}^{3}}{2} \right]$

Por que não pode ser escrito da forma que escrevi acima?

Se c é uma constante, quanto vale a integral abaixo?

$\int cx \,dx$

Ora, sabemos que:

$\int cx \,dx = c\frac{x^2}{2}+k$

Sendo assim, lembrando que a constante agora é x² ao invés de c, quanto seria a integral abaixo?

$\int x^2y \,dy$

Ora, ela seria:

$\int x^2y \,dy = x^2\frac{y^2}{2}+k$

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