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[Matriz]-Álgebra Linear

[Matriz]-Álgebra Linear

Mensagempor Ana_Rodrigues » Qua Fev 29, 2012 15:50

Se A=
\begin{pmatrix}
   3 & -2  \\ 
   -4 & 3 
\end{pmatrix}, ache B, de modo que {B}^{2}=A


Não sei resolver essa questão, peço a quem souber que me ajude a resolvê-la.

Desde já, agradeço!
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Re: [Matriz]-Álgebra Linear

Mensagempor LuizAquino » Qua Fev 29, 2012 16:02

Ana_Rodrigues escreveu:Se A= \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}, ache B, de modo que {B}^{2}=A


Suponha que a matriz B seja:

B = \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}

Calculando B^2, que é o mesmo que BB, obtemos que:

B^2 =  \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x^2 + yz & wy + xy \\ wz + xz & w^2 + yz \end{pmatrix}

Agora, você compara cada termo dessa matriz com cada termo da matriz A. Você terá o sistema:

\begin{cases}
x^2 + yz = 3 \\
wy + xy = -2 \\
wz + xz = -4 \\
w^2 + yz = 3
\end{cases}

Resolvendo esse sistema, você determina x, y, z e w. Com isso, você determina a matriz B.

Agora tente terminar.
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Re: [Matriz]-Álgebra Linear

Mensagempor Ana_Rodrigues » Qua Fev 29, 2012 21:29

Oi, na verdade meu problema é resolver esse tipo de sistema.
Eu resolvi, talvez esteja incompleto.


{x}^{2}+yz=3
xy+wy=-2
xz+wz=-4
{w}^{2}+yz=3


x=w
z=2y
wy=-1
xy=-1
wz=-2
xz=-2

Daí eu deduzi que:

y=1
z=2
x=-1
w=-1

Peço que mostre seu jeito de responder esse sistema!
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Re: [Matriz]-Álgebra Linear

Mensagempor Ana_Rodrigues » Qua Fev 29, 2012 21:31

Oi, na verdade meu problema é resolver esse tipo de sistema.
Eu resolvi, talvez esteja incompleto.


{x}^{2}+yz=3
xy+wy=-2
xz+wz=-4
{w}^{2}+yz=3


x=w
z=2y
wy=-1
xy=-1
wz=-2
xz=-2

Daí eu deduzi que:

y=1
z=2
x=-1
w=-1

Peço que mostre seu jeito de responder esse sistema!
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Re: [Matriz]-Álgebra Linear

Mensagempor LuizAquino » Qui Mar 01, 2012 02:16

Ana_Rodrigues escreveu:Oi, na verdade meu problema é resolver esse tipo de sistema.
Eu resolvi, talvez esteja incompleto.
(...)
Peço que mostre seu jeito de responder esse sistema!


\begin{cases} x^2 + yz = 3 \\ wy + xy = -2 \\ wz + xz = -4 \\ w^2 + yz = 3 \end{cases}

Da primeira e da última equação, temos que:

x^2 + yz = w^2 + yz \Rightarrow x^2  = w^2  \Rigtharrow x = \pm w

Devemos descartar a solução x = -w, pois substituindo x por -w na segunda ou na terceira equação obtemos uma falsidade.

Na segunda equação, temos que y(w + x) = -2. Como x = w, temos que y = -1/x.

Já na terceira equação, temos que z(w + x) = -4. Como x = w, temos que z = -2/x.

Tomando agora a primeira equação, temos que:

x^2 + yz = 3

x^2 + \frac{2}{x^2} = 3

x^4 - 3x^2 + 2 = 0

Resolvendo essa equação biquadrada, temos que x_1 = -\sqrt{2} , x_2 = -1 , x_3 = 1 e x_4 = \sqrt{2} .

Portanto, o sistema possui quatro soluções:

\begin{cases}
x = -\sqrt{2} \\
y = \frac{\sqrt{2}}{2} \\
z = \sqrt{2} \\
w = -\sqrt{2}
\end{cases}

\begin{cases}
x = -1 \\
y = 1 \\
z = 2 \\
w = -1
\end{cases}

\begin{cases}
x = 1 \\
y = -1 \\
z = -2 \\
w = 1
\end{cases}

\begin{cases}
x = \sqrt{2} \\
y = -\frac{\sqrt{2}}{2} \\
z = -\sqrt{2} \\
w = \sqrt{2}
\end{cases}

Isso significa que existem quatro possibilidades para a matriz B.
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}