Identidades Trigonométricas

por **Camila Z** » Seg Jan 16, 2012 23:15

Bom, preciso provar que:
(senx+cosx)(senx-cosx)=2sen^2x -1

Estou tentando fazer pela regra do quad. do 1º + 2 vezes os elementos - o quad. do 2º: (senx)^2+2senx.cosx-(cosx)^2, dividi tudo por cosx^2 para obter o 1 do final, mas não consigo chegar na igualdade...

E tb nesta outra igualdade: senx^2/1-cosx + secx^2-tgx^2/secx = 1
Em todas minhas tentativas, sobra o 1 e o cosx tb!

Obrigada

por **Arkanus Darondra** » Seg Jan 16, 2012 23:47

Camila Z escreveu:Bom, preciso provar que:
Boa noite Camila Z.
(senx+cosx)(senx-cosx)=2sen^2x -1

$(senx+cosx)(senx-cosx) \Rightarrow sen^2x - cos^2x \Rightarrow - (cosx^2 - sen^2x)$
$\Rightarrow - (1 - sen^2x - sen^2x) \Rightarrow - (1 - 2sen^2x) \Rightarrow 2sen^2x - 1$

por **Arkanus Darondra** » Seg Jan 16, 2012 23:56

A segunda equação é $\frac{sen^2x}{1-cosx} + \frac {sec^2x-tg^2x}{secx} = 1$ ?
Obs: Cuidado! O correto é elevar o sen ao quadrado e não o x.

por **Camila Z** » Ter Jan 17, 2012 14:22

Obrigada, mas eu tenho que detalhar "provando" que dá o quadrado do 1º menos o quadrado do 2º... me ajude

A segunda é isso mesmo... como fica?

por **Arkanus Darondra** » Ter Jan 17, 2012 20:27

Camila Z escreveu:Obrigada, mas eu tenho que detalhar "provando" que dá o quadrado do 1º menos o quadrado do 2º... me ajude

$(senx+cosx)(senx-cosx) \Rightarrow sen^2 - senxcosx + senxcosx - cos^2x \Rightarrow sen^2x - cos^2x$ (Diferença de quadrados!)

Camila Z escreveu:A segunda é isso mesmo... como fica?

Não consegui chegar na igualdade. Mas fiz um desenvolvimento. Antes de mostrá-lo, vou esclarecer algumas coisas.
Se $sen^2x + cos^2x = 1 \Rightarrow sen^2x = 1 - cos^2x$
Se (a + b)(a - b) = a^2 - b^2

então

1 - cos^2x = 1^2 - cos^2x = (1 + cosx)(1 - cosx)

// $secx = \frac{1}{cosx}$ // $sec^2x = \frac{1}{cos^2x}$ // $tg^2 = \frac{sen^2x}{cos^2x}$

Fiz um desenvolvimento bem detalhado. Se alguém encontrar algo errado, por favor, corrija, pois não consegui resolver a igualdade proposta.
$\frac{sen^2x}{1-cosx} + \frac {sec^2x-tg^2x}{secx} = 1 \Rightarrow \frac{1 - cos^2x}{1 - cosx} + \frac{\frac{1}{cos^2x} - \frac{sen^2x}{cos^2x}}{\frac{1}{cosx}} = 1 \Rightarrow \frac{1 - cos^2x}{1 - cosx} + \frac{\frac{1 - sen^2x}{cos^2x}} {\frac{1}{cosx}} = 1 \Rightarrow \frac{1 - cos^2x}{1 - cosx} + \frac{\frac{cos^2x}{cos^2x}} {\frac{1}{cosx}} = 1 \Rightarrow \frac{(1 - cosx)(1 + cosx)}{(1 - cosx)} + \frac{(cos^2x)(cosx)}{(cos^2x)(1)} = 1\Rightarrow 1 + cosx + cosx = 1 \Rightarrow 2cosx = 0 \Rightarrow cosx = 0$

por **fraol** » Ter Jan 17, 2012 21:40

Arkanus, acompanhei o seu desenvolvimento e o mesmo está correto.

Camila, você já reviu se a segunda expressão é como foi colocada no post?

por **Camila Z** » Ter Jan 17, 2012 22:13

Muito obrigada mesmo, mas vendo o detalhamento da 2ª, eu queria enviar o meu desenvolvimento para vc dar uma olhada... é muito para digitar, como faço para enviar como figura? O meu fica com 1 cosx no final...

Ah, gente, desculpa, recebi uma mensagem de que pode estar errado o sinal de + no meio das frações, parece que é -! Ai sim fica ok, né?

por **Arkanus Darondra** » Ter Jan 17, 2012 23:19

Camila Z escreveu:Muito obrigada mesmo, mas vendo o detalhamento da 2ª, eu queria enviar o meu desenvolvimento para vc dar uma olhada... é muito para digitar, como faço para enviar como figura? O meu fica com 1 cosx no final...

Para postar uma imagem basta hospedá-la no site http://imageshack.us/, pegar o link direto e colocá-lo, na sua mensagem, como em: [img]link[/img]

Camila Z escreveu:Ah, gente, desculpa, recebi uma mensagem de que pode estar errado o sinal de + no meio das frações, parece que é -! Ai sim fica ok, né?

Sim.

Por favor, mande sua resolução para analisarmos. :y:

por **Camila Z** » Qua Jan 18, 2012 10:03

http://profile.imageshack.us/user/camilaz/
Bom... não sei se está certo a postagem da imagem, mas a resolução da identidade tá! rsrs
É o meu 1º desenvolvimento, que tinha feito antes de pedir ajuda pra vcs, está com o sinal + mesmo, não recebi a confirmação de que é - ainda...

por **Arkanus Darondra** » Qua Jan 18, 2012 11:17

Camila Z escreveu:

Camila, você fez tudo certo até a terceira linha do seu desenvolvimento.
1º) $\frac{sen^2x}{1 - cosx} + \frac{1 - sen^2x.cosx}{cos^2x} \Rightarrow \frac{sen^2x(cos^2x) + 1 - sen^2x.cosx(1 - cosx)}{(1 - cosx)(cos^2x)}$

Ou
$\frac{sen^2x}{1 - cosx} + \frac{1 - sen^2x.cosx}{cos^2x} \Rightarrow \frac{sen^2x}{1 - cosx} + (1 - sen^2x.cosx).\frac{1}{cos^2x} \Rightarrow \frac{sen^2x}{1 - cosx} + (1 - sen^2x.cosx).sec^2x \Rightarrow \frac{sen^2x + (1 - sen^2x.cosx).sec^2x.(1 - cosx)}{1 - cosx}$

Isto já torna incorreta sua resolução, mas vou destacar outros pontos.
2º) $\frac{\frac{cos^2x.sen^2x + (1 - cosx)1 - sen^2x.cosx}{1 - cosx}}{cos^2x} \not= \frac{cos^2x.sen^2x + 1 - sen^2x.cosx}{cos^2x}$
Você não pode cancelar neste caso, pois o

não está em ambos os lados da soma.
3º) $\frac{cos^2x.sen^2x + 1 - sen^2x.cosx}{cos^2x} \not= 1 - cosx$
Você cometeu o mesmo erro anterior. Além disso $sen^2x - sen^2.cosx \not= cosx$

Se eu tiver interpretado errado a sua resolução, ou qualquer dúvida, volte aqui. :y:

por **Camila Z** » Qua Jan 18, 2012 20:23

http://imageshack.us/photo/my-images/685/imagem2ue.png/

Por favor dê uma olhada na minha correção, se estiver certa consegui chegar no 1!

Aguardo resposta, obrigada.

por **Arkanus Darondra** » Qua Jan 18, 2012 23:20

Camila, não estou conseguindo ver sua resolução. A imagem está meio cortada.

por **Camila Z** » Qui Jan 19, 2012 09:35

Eu cortei a 1ª parte que vc falou que estava certo, mudei só depois da 3ª linha, considerar o início da imagem anterior...

por **Arkanus Darondra** » Qui Jan 19, 2012 11:19

Camila, a parte que eu disse ser correta são as 3 primeiras linhas da sua resolução anterior. Nesta imagem aparece apenas da última linha em diante.

por **Camila Z** » Qui Jan 19, 2012 14:29

http://imageshack.us/photo/my-images/14/imagem3lr.png/

Ok, fiz de novo, dá uma olhada...

por **Arkanus Darondra** » Qui Jan 19, 2012 15:37

Antepenúltima linha) $\frac{sen^2x - sen^4x + 1 - sen^2xcosx - cosx + sen^2x - sen^4x}{1 - sen^2x - cosx + sen^2xcosx} \not= \frac{sen^2x - sen^4x + 1 + sen^2x - sen^4x}{1 - sen^2x }$
Para você cancelar o

do denominador, é necessário você colocá-lo em evidência tanto no numerador quanto no denominador.

Última linha) Também não concordo com:
$\frac{2sen^2x - 2sen^2xsen^2x + 1}{1 - sen^2x} = \frac{1}{1}$
Para isso ser verdade, então:
$2sen^2x - 2sen^2xsen^2x + 1 = 1 - sen^2x \Rightarrow 2sen^2x + sen^2x - 1 = 2sen^2xsen^2x - 1\Rightarrow 3sen^2x \not= 2sen^2xsen^2x$

Seria verdade se:
$\frac{2sen^2x - 2sen^2 - sen^2x + 1}{1 - sen^2x} = \frac{1}{1}$

por **Arkanus Darondra** » Qui Jan 19, 2012 15:41

Para resolver este exercício, seria mais fácil se você notasse que:
$\frac{sen^2x}{1-cosx} = 1 + cosx$

e que
$\frac {sec^2x-tg^2x}{secx} = cosx$

Então
1 + cosx - cosx = 1