[Funções] Pequena dúvida

por **Renato_RJ** » Sex Jan 13, 2012 19:44

Boa noite amigos !!!

Gostaria que alguém me ajudasse com uma função, na verdade não quero a solução do problema, só quero entender como "lidar" com a questão abaixo.

$[\frac{2x^2}{x^2+1}] = x$

Onde [x]

é o menor inteiro maior ou igual a x.

E aí está a minha dúvida, posso lidar com essa equação como uma equação "normal" ou tem algum detalhe que não sei ??? Mais uma vez muito obrigado, não precisa resolver o problema só quero "o caminho das pedras"...

[ ]'s
Renato.

EDITADO:

Na verdade o nome dessa função é função teto, então a equação seria:

$\lceil \frac{2x^2}{x^2+1} \rceil$

Acho que consigo fazer algum progresso agora..

EDITADO 2:

Esqueçam, já resolvi !!! ;-)

por **ant_dii** » Sáb Jan 14, 2012 02:31

Mas agora eu me interessei... kkkkk

Poste, por favor se não for incomodo, o que você fez...

por **Renato_RJ** » Sáb Jan 14, 2012 12:12

Simplesmente desenhei o gráfico de ambas as funções e vi onde eles se interceptavam, só achei três valores onde elas se interceptam que são 0, 1 e 2...

[ ]'s
Renato.

por **ant_dii** » Sáb Jan 14, 2012 15:42

Pesquisei sobre o tema e descobri que pouco se fala sobre esta função...
Mas eu mesmo fiquei com muitas dúvidas, por exemplo, como confirmar que só existe esses três pontos? E se fosse igual à x^2

, qual seria o resultado? Como confirmá-lo? Como fazer isso algebricamente?

Ela é muito interessante...

Fui procurar respostas e percebi que para responder tais questões é preciso estudar o comportamento do gráfico da função teto (o recurso que você utilizou) utilizando máximos e mínimos da função e qual é o comportamento dela no infinito ( $\pm \infty$ ) ou quando se aproxima de zero, ou seja, utilizando limite e somente depois fazer a intersecção com a função desejada. Isso porque é difícil saber o comportamento da função que você postou.

De outra forma, mas agora analítica, pode-se fazer o seguinte também.
Considerando que $f(x)=\left\lceil x\right\rceil \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{Z}\quad /\quad k-1<x\leq k$ , teremos

$f(x)=\left\lceil \frac{2x^2}{x^2+1} \right\rceil \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{Z}\quad /\quad k-1<\frac{2x^2}{x^2+1}\leq k$

de onde

$k-1<\frac{2x^2}{x^2+1}\leq k \Leftrightarrow \frac{k-1}{2}<\frac{x^2}{x^2+1}\leq \frac{k}{2} \Leftrightarrow \\ \\ \frac{(k-1)(x^2+1)}{2}<x^2\leq \frac{k(x^2+1)}{2}$ .

Agora, de $\frac{(k-1)(x^2+1)}{2}<x^2$ , temos

$\frac{(k-1)(x^2+1)}{2}<x^2 \Rightarrow \frac{(kx^2 + k - x^2-1)}{2}<x^2 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \frac{kx^2}{2} + \frac{k}{2} - \frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}<x^2 \Rightarrow \frac{k-1}{2}<x^2-\frac{kx^2}{2}+\frac{x^2}{2} \Rightarrow \frac{k-1}{2}<-\frac{kx^2}{2}+\frac{3x^2}{2}\Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \frac{k-1}{2}<\frac{3-k}{2}x^2 \Rightarrow x^2>\frac{k-1}{3-k} \Rightarrow x>\sqrt{\frac{k-1}{3-k}} \quad \mbox{ou} \quad x<-\sqrt{\frac{k-1}{3-k}}$ .

Se k=2

, teremos $x>1 \quad \mbox{ou} \quad x<-1$ .

de $x^2\leq \frac{k(x^2+1)}{2}$ , teremos

$x^2\leq \frac{k(x^2+1)}{2} \Rightarrow x^2\leq \frac{kx^2}{2}+\frac{k}{2} \Rightarrow x^2 - \frac{kx^2}{2}\leq \frac{k}{2} \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow x^2 \left(1-\frac{k}{2}\right)\leq \frac{k}{2} \Rightarrow x^2 \left(\frac{2-k}{2}\right)\leq \frac{k}{2} \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow x^2 \leq \frac{k}{2-k}\Rightarrow -\sqrt{\frac{k}{2-k}} \leq x \leq \sqrt{\frac{k}{2-k}}$ .

Se k=0

, então

.

Se

, então $-1\leq x \leq 1$ .

assim podemos ver que

$f(x)=\left\lceil \frac{2x^2}{x^2+1} \right\rceil=\left \{\begin{array}{rl} 2, & \mbox{se} \quad x > 1 \quad \mbox{ou} \quad x < -1 \\ 1, & \mbox{se} \quad -1 \leq x \leq 1 \\ 0, & \mbox{se} \quad x=0 \end{array} \right.$

Agora é possível fazer a intersecção da função

com a função g(x)=x