Transformaçao Linear pela matriz em relaçao a uma base

por **Mysuno** » Sex Jan 06, 2012 15:28

Boa tarde, e o meu primeiro post neste forum.

Tenho uma duvida nesta escolha multipla.
Tenho a certeza que a primeira opçao nao e, visto serem linearmentes independentes.

No entanto as outras opçoes, nao consigo percebe-las.

Se alguem me puder ajudar agradecia.

por **MarceloFantini** » Sex Jan 06, 2012 18:19

Mysuno, por favor evite postar imagens, procure digitar o enunciado da questão e das opções. Sobre o problema, você sabe o que significa nulidade, complemento ortogonal de um subespaço e a relação da nulidade com existência de transformação inversa?

por **Mysuno** » Sex Jan 06, 2012 19:27

Peço desculpa, nao sabia que nao se podia por imagens.

Nao, nao sei nada disso. Esta materia ainda e recente mas a minha professora e mesmo para nos tramar. Tenho de entregar isso ainda hoje.

por **MarceloFantini** » Sex Jan 06, 2012 20:06

Vou tentar explicar de maneira rápida.

Dados dois espaços vetoriais e uma transformação linear, você pode definir o núcleo ou kernel da transformação linear como todos os vetores tais que a transformação se anula, ou seja, dada $T: V \to W$ o núcleo é o conjunto dos vetores que anulam a transformação: $\{ v \in V; \; T(v) = 0\}$ .

Os vetores que não anulam a transformação vão para o conjunto imagem. Existe um teorema que diz que $\dim V = \dim ker \, T + \dim Im \, T$ .

Chamamos de nulidade a dimensão do núcleo da transformação, ou seja, $\text{nulidade } = \dim ker \, T$ . Nulidade positiva significa que a dimensão é maior que zero. Convencionamos que quando o único vetor no núcleo é o vetor nulo então sua dimensão é zero.

Existe um outro teorema que diz que uma transformação é invertível se e somente se a nulidade for zero, ou seja, o único vetor no núcleo é o vetor nulo.

De maneira sintética, dado um subespaço, dizemos que o seu complemento ortogonal é composto por todos os vetores que são ortogonais entre si, ou seja, usando o produto interno do espaço nós temos que $W^{\perp} = \{ v \in V; \; \langle v,w \rangle = 0, \, \forall w \in W\}$ , onde W é um subespaço de V e $\langle \; , \, \rangle$ é o produto interno do espaço.

Usando este pedaço de teoria, veja se consegue resolver. Procure um pouco mais sobre complementos ortogonais, estou sem tempo pra poder explicar tudo.