Integral com sen e logaritmo

por **odra1974** » Sáb Nov 19, 2011 13:44

Bom dia
Estou tentando faz um dia e não consigo resolver a integral $\int_{}^{}sen\left(log\left(x \right) \right)dx$

O problema é que ao desenvolver o cálculo chego a um ponto e fico bloqueado, pois não consigo terminar com a integral.

Cheguei até aqui e acho que não dá saida para eliminar a integral, pois parece que entra num ciclo vicioso

$\int_{}^{}sen\left(log\left(x \right) \right)dx$ =

= $xsen\left(log\left(x \right) \right)-\int_{}^{}xcos\left(log\left(x \right) \right)\frac{1}{x}dx$

Me ajudem...

Abraços

por **LuizAquino** » Sáb Nov 19, 2011 14:53

odra1974 escreveu:Estou tentando faz um dia e não consigo resolver a integral $\int \textrm{sen}\,\left(\log\left(x \right) \right)\,dx$
(...)
Cheguei até aqui e acho que não dá saida para eliminar a integral, pois parece que entra num ciclo vicioso

$\int \textrm{sen}\,\left(\log\left(x \right) \right)\,dx = x \textrm{sen}\,\left(\log\left(x \right) \right) - \int x\cos\left(\log\left(x \right) \right)\frac{1}{x}\,dx$

Você está usando a convenção de que $\log x$ representa o logaritmo natural? Isto é, o logaritmo na base e?

Se for isso, então de fato você pode usar que $(\log x)^\prime = \frac{1}{x}$ quando aplicar a integração por partes.

Mas se por outro lado você está usando a convenção de que $\log x$ representa o logaritmo na base 10, então lembre-se que $(\log x)^\prime = \frac{1}{x\ln 10}$ (onde aqui "ln" representa o logaritmo natural -- ou seja, na base e).

Vou considerar que você está usando a convenção de que $\log x$ representa $\ln x$ .

Para continuar a resolução, faça $u = \cos \left( \ln x \right)$ e dv = dx

. Dessa forma, note que:

$\int \textrm{sen}\,\left(\ln x \right)\,dx = x \textrm{sen}\,\left(\ln x \right) - \left(x\cos \left( \ln x \right) - \int -x\textrm{sen}\,\left( \ln x \right)\frac{1}{x}\, dx\right)$

$\int \textrm{sen}\,\left(\ln x \right)\,dx = x \textrm{sen}\,\left(\ln x \right) - x\cos \left( \ln x \right) - \int \textrm{sen}\,\left( \ln x \right)\, dx$

$\int \textrm{sen}\,\left( \ln x \right)\, dx + \int \textrm{sen}\,\left(\ln x \right)\,dx = x \textrm{sen}\,\left(\ln x \right) - x\cos \left( \ln x \right)$

$2\int \textrm{sen}\,\left(\ln x \right)\,dx = x \textrm{sen}\,\left(\ln x \right) - x\cos \left( \ln x \right)$

$\int \textrm{sen}\,\left(\ln x \right)\,dx = \frac{1}{2}\left[x \textrm{sen}\,\left(\ln x \right) - x\cos \left( \ln x \right)\right] + c$