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Desafio da Escada Rolante

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A classificação destes desafios em fáceis, médios e difíceis, é apenas ilustrativa.
Eventualmente, o que pode ser difícil para a maioria, pode ser fácil para você e vice-versa.

Desafio da Escada Rolante

Mensagempor Molina » Qui Abr 23, 2009 01:24

Um amante da matemática deseja descobrir a quantidade de degraus que são visíveis numa escada rolante em pleno movimento. Para solucionar isto, foi feito o seguinte procedimento: Duas mulheres começaram a subir, no mesmo momento (juntas), a escada; uma subindo um degrau de cada vez enquanto que a outra subia dois degraus de cada vez. Por fim, ao chegar ao topo, a primeira mulher contou o total de 21 degraus enquanto a outra, 28 degraus.

Apenas com esses dados o amante da matemática conseguiu responder o problema.

Quantos degraus são visíveis nessa escada rolante?

Lembrando que o nível do desafio é relativo. Por isso classifiquei-o como mediano

:idea:
*-)
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Re: Desafio da Escada Rolante

Mensagempor Neperiano » Sex Abr 24, 2009 20:11

Ola

Essa questão é muito trivial.

Nos poderiamos dizer que tem 28 porque a mulher ando 28 degraus, mas tem a velocidade contraria do elevador que atrapalha.

Poderiamos dizer que é 21 pois outra mulher foi de 2 em 2, e poderiamos considerar que ela ando de 1 e 1, por causa da força contraria da escada rolante.

Mas acredito que a verdadeira resposta seja algo em torno de 14 degraus.

Eu entendi que a diferença de uma escada para outra x 2 seria a resposta, mas sinceramente foi soh um palpite.

Abraços
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Re: Desafio da Escada Rolante

Mensagempor Molina » Sex Abr 24, 2009 20:39

Maligno.. Lembre-se que a é apenas UMA escada.

=)
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Re: Desafio da Escada Rolante

Mensagempor Neperiano » Sex Abr 24, 2009 21:04

Ola

Desculpe Molina me expressei mal.

A diferença da duas mulheres subindo a escada rolante... Então

Abraços
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Re: Desafio da Escada Rolante

Mensagempor rafagondi » Sáb Abr 25, 2009 16:53

Eu tentei resolver o problema, mas acho que o interpretei errado =/.
Eu consiferei que as mulheres não contavam os degraus em que pisavam.
Cheguei a conclusão de que elas andaram 42 ou 43 degraus.
Imagem

Mas como não tenho a velocidade com que a escada anda, ou a velocidade com que elas andaram, ou se a velocidade em que elas andaram e diferente. Enfim, o meu problema seu todo errado =/.
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Re: Desafio da Escada Rolante

Mensagempor ginrj » Dom Jun 07, 2009 14:54

encontrei 26 :S, correto?
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D