Correção de questões de integrais

por **valeuleo** » Seg Out 03, 2011 11:59

Tentei resolver as seguintes questões e gostaria que analisassem se as resoluções (resultados e procedimentos) estão corretos. Segue:

$\int_{}^{}\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+x-6}$

Sabendo que:

$\frac{P(x)}{(x-\alpha).(x-\beta)}=Q(x) + \frac{R(x)}{(x-\alpha).(x-\beta)}$

Tenho que:

$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+x-6}=1+\frac{\left(-x+6 \right)}{{x}^{2}+x-6}$

Então:

$\int_{}^{}\left[ 1+\frac{\left(-x+6 \right)}{{x}^{2}+x-6}\right]dx = \int_{}^{}1 dx+\int_{}^{}\frac{(-x+6)}{{x}^{2}+x-6}dx$

Fazendo A e B:
$\frac{-x+6}{{x}^{2}+x-6}=\frac{A}{(x+3)}+\frac{B}{(x-2)}$

-x+6=A(x-2)+B(x+3)

Fazendo x=2, obtemos B = 4/5 e com x=-3 obtemos A=-9/5

Fazendo as integrais:
$x+\int_{}^{}\frac{\frac{-9}{5}}{(x+3)}dx+\int_{}^{}\frac{\frac{4}{5}}{(x-2)}dx$

Temos então:

$x-\frac{9}{5}ln\left|(x+3) \right|+\frac{4}{5}ln\left|(x-2) \right|$

(Depois posto as outras resoluções)
Grato

por **LuizAquino** » Seg Out 03, 2011 16:11

Ao invés de "ganhar o peixe", que tal "aprender a pescar"?

Para conferir a sua resolução, siga os passos:

Acesse a página: http://www.wolframalpha.com/
No campo de entrada, digite:
Código: Selecionar todos
integrate (x^2)/(x^2+x-6) dx
Clique no botão de igual ao lado do campo de entrada.
Após a integral ser calculada, clique no botão "Show steps" ao lado do resultado.
Pronto! Basta conferir a resolução.

Observação
Obviamente, a resolução pode variar um pouco em relação a sua.

por **valeuleo** » Seg Out 03, 2011 16:40

Esse site resolve de uma maneira "não acadêmica rsrs". O meu deu diferente, mas os procedimentos da página são outros.

por **LuizAquino** » Seg Out 03, 2011 17:16

valeuleo escreveu:Esse site resolve de uma maneira "não acadêmica rsrs". O meu deu diferente, mas os procedimentos da página são outros.

Não "acadêmica"?! A integral foi resolvida aplicando o método das frações parciais da mesma forma que você fez!

A técnica foi aplicada logo no início:

For the integrand $\frac{x^2}{x^2+x-6}$ , do long division:
$= \int -\frac{9}{5(x+3)} + \frac{4}{5(x-2)} + 1 \, dx$

Eis a resposta final indicada na página:

$\int \frac{x^2}{x^2+x-6} dx = x + \frac{4}{5}\log(2-x) - \frac{9}{5}\log(x+3) + \textrm{constant}$

Sendo que na própria página há um aviso:

$\log( x )$ is the natural logarithm

Considerando-se que onde há parênteses na solução o que temos na verdade são módulos e que nessa página $\log x$ representa $\ln x$ , a solução apresentada é a mesma que a sua!

Observação

Lembre-se que |x - 2| = |2 - x|.