Limite Continuidade

por **Claudin** » Sáb Out 01, 2011 11:33

Seja f definida por $f(x)= \begin{cases}\frac{(2x+3)(x-1}{(x-1} , {se}&x\neq1 \\ 2 ,{se}&x=1\end{cases}$

A resolução seria:

f(1)=2

$\lim_{x\rightarrow{1}}f(x)=\lim_{x\rightarrow{1}} \frac{(2x+3)(x-1)}{(x-1)} = 2.1+3=5$

A função é descontínua no ponto x=1, porque em $x\neq1$ , o resultado teria que ser também 2, como em x=1, correto?

por **Renato_RJ** » Sáb Out 01, 2011 15:27

Boa tarde Claudin, tudo em paz ??

Seguinte, a função será contínua se os limites laterais forem iguais, mas não necessariamente igual ao valor de x na função (a imagem de x). Para isso, faça o limite da função quando x tende a 1 pela esquerda e pela direita, se esses limites forem iguais, aí sim a função é contínua...

Abs,
Renato.

por **Claudin** » Sáb Out 01, 2011 20:06

Tanto pela esquerda e pela direita o valor seria 5, o que difere de 2, que no caso quando x=1.
Ou seja, a função nao e continua, para ser continua o valor correto para os limites laterais deveria ser 2, correto?

por **Renato_RJ** » Dom Out 02, 2011 00:14

Cuidado, o limite de uma função quando x tende a um valor não é, necessariamente, igual a imagem desse valor na função, isto é, se x = 1 implica em f(x) = 2, então o limite de f(x) quando x tende a 1 não é, necessariamente, 2...

Se os limites laterais são iguais (mesmo sendo diferente da imagem da função no ponto), então a função é contínua..

Abs,
Renato.

por **Claudin** » Dom Out 02, 2011 10:13

Não compreendi Renato
a definição de função continua nao seria $\lim_{x\rightarrow{p}}f(x)= f(p)$

Portanto para a função ser continua os limites laterais teriam que ser iguais e o $\lim_{x\rightarrow{1}}f(x)= f(1)$

correto?

por **Renato_RJ** » Dom Out 02, 2011 14:34

A função é dita contínua em um ponto quando seus limites laterais são iguais, isto é:

$\lim_{x \rightarrow a^+} f(x) = L = \lim_{x \rightarrow a^-} f(x)$

O seu argumento está correto, mas lembre-se do domínio onde a sua função está definida, um exemplo, use a definição de $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a)$ na função $f(x) = \frac{1}{x-1}$ no ponto 1.. Você verá que ela é contínua em todo o domínio menos no ponto 1, pois seus limites laterais são diferentes...

Mas no seu exercício, quando x = 1 a f(x) = 2, mas quando $x \neq 1$ a sua função apresenta outra "cara", logo, para verificar se ela é contínua você teria que fazer o teste dos limites laterais, assim você poderá dizer se a função é contínua em todo o seu domínio (mesmo que a f(1) seja diferente do valor encontrado no limite).

Para melhor compreensão do que ocorre no limite, aconselho a ler sobre limites em algum livro de cálculo, tipo Stewart ou Apostol, lá verá que f(x) é diferente do limite em x, pois o limite expressa a ideia de "movimento na curva", tipo "o quão próximo estou de um valor L quando $x \rightarrow a$ "..

por **Claudin** » Dom Out 02, 2011 14:54

Então a função é continua ou não?

No meu entendimento ela só seria contínua se a função no caso de x diferente de 1, tivesse a imagem 2, como no ponto x=1, a imagem é 2, ai sim seria contínua.

Deixe mais claro para mim.

por **MarceloFantini** » Dom Out 02, 2011 15:23

A função é descontínua. Você está errando Renato. É verdade que não necessariamente o limite é o valor da função no ponto (pois ela pode nem estar definida), mas ela será contínua se e somente se o limite for igual ao valor da função no ponto, ou seja, sempre que $\lim_{x \to p} f(x) = f(p)$ .

por **Claudin** » Dom Out 02, 2011 16:38

por **Renato_RJ** » Seg Out 03, 2011 02:25

MarceloFantini escreveu:A função é descontínua. Você está errando Renato. É verdade que não necessariamente o limite é o valor da função no ponto (pois ela pode nem estar definida), mas ela será contínua se e somente se o limite for igual ao valor da função no ponto, ou seja, sempre que $\lim_{x \to p} f(x) = f(p)$ .

Opa, muito obrigado pela correção Marcelo...

Mil perdões Claudin...

[ ]'s
Renato.