[Limimite] Limite de sequência e teorema do confronto

por **Aliocha Karamazov** » Qui Set 15, 2011 21:01

Caros, quero fazer esse exercício, mas não tive nenhuma ideia para iniciar. Gostaria de receber alguma dica para poder encaminhar minha resolução. O exercício é esse:

Mostre, usando o teorema do confronto, que, se $a_{n}$ ->0, então, $\lim_{n\to\infty}sen(a_{n})=0$

Conclua então que, se $a_{n}$ ->0, então $\lim_{n\to\infty}cos(a_{n})=1$

por **MarceloFantini** » Sex Set 16, 2011 00:46

Note que podemos afirmar que $0 \leq |\textrm{sen}(a_n)| \leq |a_n|$ . Aplicando o teorema do confronto, o limite da esquerda vai para zero, o limite da direita vai para zero, e portanto o limite $\lim_{n \to \infty} \textrm{sen }(a_n) = 0$ .

por **Aliocha Karamazov** » Sex Set 16, 2011 00:51

MarceloFantini escreveu:Note que podemos afirmar que $0 \leq |\textrm{sen}(a_n)| \leq |a_n|$ . Aplicando o teorema do confronto, o limite da esquerda vai para zero, o limite da direita vai para zero, e portanto o limite $\lim_{n \to \infty} \textrm{sen }(a_n) = 0$ .

Por que podemos afirmar que $0 \leq |\textrm{sen}(a_n)| \leq |a_n|$ ?

por **MarceloFantini** » Sex Set 16, 2011 01:04

Pois $f(x) = x - \textrm{sen } x$ é não decrescente, e o único intervalo onde isto poderia dar problema é $0 < x < \frac{\pi}{2}$ .

por **Aliocha Karamazov** » Sex Set 16, 2011 01:42

Desculpe, Marcelo, mas será que você poderia detalhar um pouco mais seu raciocínio? Ainda não entendi por que $0 \leq |\textrm{sen}(a_n)| \leq |a_n|$ .

O que podemos afirmar sobre $a_{n}$ é que essa sequência tende a zero, quando n tende ao infinito. Mas como isso implica que seu módulo é sempre maior que o módulo de $sen(a_{n})$ ? Isso vem de alguma prova geométrica?

Tendo outra dúvida. Consegui provar de outra maneira:
Utilizando essa desigualdade, que pode ser demonstrada geometricamente:

$0<cos(x)<\frac{sen(x)}{x}<\frac{1}{cos(x)}$

Escrevendo em função de $a_{n}$ :

$0<cos(a_{n})<\frac{sen(a_{n})}{a_{n}}<\frac{1}{cos(a_{n})}$

Multiplicando tudo por $a_{n}$ :

$cos(a_{n})a_{n}<sen(a_{n})<\frac{a_{n}}{cos(a_{n})}$

Mas,

$\lim_{n\to\infty}cos(a_{n})a_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{cos(a_{n})}=0$

E, pelo teorema do confronto, se $a_{n} \shortrightarrow 0, \lim_{n\to\infty}sen(a_{n})=0$

Agora que vem minha dúvida. Para essa demonstração, eu utilizei $\lim_{n\to\infty}cos(a_{n})=1$ (já tomando isso com verdadeiro). E, para mostrar que $\lim_{n\to\infty}cos(a_{n})=1$ (que é a outra parte do exercício), é preciso utilizar $a_{n}$ ->0 $, \lim_{n\to\infty}sen(a_{n})=0$ .
Ou seja, para demonstrar a propriedade A, usa-se a propriedade B; e, para demonstar B, usa-se A. Pode fazer isso? Supondo que B fosse falsa, se B implica A, como saber que A também não é falsa?

por **MarceloFantini** » Sex Set 16, 2011 16:56

Esta é uma relação que vale para qualquer x real, em particular para a sequência que você está trabalhando. Não sei a demonstração.

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