[Inequação]

por **Aliocha Karamazov** » Seg Set 12, 2011 01:27

Caros, vou postar o exercício e minha resolução. O post ficou um pouco maior do que é de costume, porque eu fiz questão de colocar todas as passagens, uma vez que, pelo fato de minha resposta estar "quase" certa, provavelmente eu errei em alguma passagem. Parece complicado, mas não é. Gostaria da colaboração de alguém para que eu possa saber onde e por que errei.

Dado $\mathcal{E}>0$ arbitrário, determine $m\in\mathds{N}$ * tal que $a_{n}\in(L-\mathcal{E},l+\mathcal{E})$ para todo $n \geq m$ , onde $a_{n}=\frac{1}{2+\sqrt{\frac{n+1}{n}}}$ e $L=\frac{1}{3}$

Eu fiz dessa maneira:

$|a_{n}-L|<\mathcal{E} \Rightarrow \left|\frac{1}{2+\sqrt{\frac{n+1}{n}}} -\frac{1}{3}\right|<\mathcal{E}$

Mas, $\left(\frac{1}{2+\sqrt{\frac{n+1}{n}}} -\frac{1}{3}\right)<0, \forall n \in \mathds{N}$ * (Isso é fácil provar, mas eu omiti para encurtar). Portanto, $\left|\frac{1}{2+\sqrt{\frac{n+1}{n}}} -\frac{1}{3}\right|= -\left(\frac{1}{2+\sqrt{\frac{n+1}{n}}} -\frac{1}{3}\right)$

Voltando à inequação:

$-\left(\frac{1}{2+\sqrt{\frac{n+1}{n}}} -\frac{1}{3}\right)<\mathcal{E} \Leftrightarrow \left(\frac{1}{2+\sqrt{\frac{n+1}{n}}} -\frac{1}{3}\right)>-\mathcal{E}$

$\Leftrightarrow \frac{1-\frac{2+\sqrt{\frac{n+1}{n}}}{3}}{2+\sqrt{\frac{n+1}{n}}}>-\mathcal{E} \Leftrightarrow 1-\frac{2+\sqrt{\frac{n+1}{n}}}{3}>-\mathcal{E} \left(2+\sqrt{\frac{n+1}{n}}\right)$

$\Leftrightarrow 3 -\left(2+\sqrt{\frac{n+1}{n}}\right)>3\mathcal{E}\left(2+\sqrt{\frac{n+1}{n}}\right)$

$\Leftrightarrow 1- \sqrt{\frac{n+1}{n}}>-6\mathcal{E} -3\mathcal{E}\sqrt{\frac{n+1}{n}} \Leftrightarrow 3\mathcal{E}\sqrt{\frac{n+1}{n}} -\sqrt{\frac{n+1}{n}}>-6\mathcal{E}-1$

$\sqrt{\frac{n+1}{n}}(3\mathcal{E}-1)>-6\mathcal{E}-1\Leftrightarrow \sqrt{\frac{n+1}{n}}>\frac{-6\mathcal{E}-1}{3\mathcal{E}-1}$

Agora, é preciso elevar ambos lados ao quadrado. No entanto, o membro à direita é negativo para alguns valores de $\mathcal{E}$ . Resolvendo a inequação $\frac{-6\mathcal{E}-1}{3\mathcal{E}-1}>0$ , encontra-se $-\frac{1}{6}<\mathcal{E}<\frac{1}{3}$ .

Elevando-se ambos os lados ao quadrado, segue que:

$\frac{n+1}{n}>\left(\frac{-6\mathcal{E}-1}{3\mathcal{E}-1}\right)^2$

Com mais algumas manipulações algébricas, (omitidas para não deixar o post ainda mais extenso), chega-se em:

$\frac{1}{n}>\frac{27\mathcal{E}^2 +18\mathcal{E}}{9\mathcal{E}^2 -6\mathcal{E} +1} \Leftrightarrow n<\frac{9\mathcal{E}^2 -6\mathcal{E} +1}{27\mathcal{E}^2 +18\mathcal{E}}$

No gabarito, está $n>\frac{9\mathcal{E}^2 -6\mathcal{E} +1}{27\mathcal{E}^2 +18\mathcal{E}}$

Realmente, não faz sentido chegar a um resultado em que n deve ser menor do que alguma coisa, pois o enunciado pede um

tal que $\forall n\geq m, a_{n}\in(L-\mathcal{E},l+\mathcal{E})$

Gostaria que alguém apontasse onde eu errei.

por **MarceloFantini** » Seg Set 12, 2011 05:57

Aliocha, não consegui encontrar o seu erro, mas verifique como eu fiz:

$\frac{1}{3} - \frac{1}{2 + \sqrt{\frac{n+1}{n}}} < \varepsilon \iff \frac{1}{3} - \varepsilon < \frac{1}{2 + \sqrt{\frac{n+1}{n}}} \iff 1 - 3 \varepsilon < \frac{3}{2 + \sqrt{\frac{n+1}{n}}} \iff$

$\iff \frac{1}{1 - 3 \varepsilon} > \frac{2 + \sqrt{\frac{n+1}{n}}}{3} \iff \frac{3}{1 - 3 \varepsilon} > 2 + \sqrt{\frac{n+1}{n}} \iff$

$\iff \frac{3 - 2(1 - 3 \varepsilon)}{1 - 3 \varepsilon} > \sqrt{\frac{n+1}{n}} \iff \frac{1 + 6 \varepsilon}{1 - 3 \varepsilon} > \sqrt{\frac{n+1}{n}} \iff$

$\iff \frac{1 +12 \varepsilon + 36 \varepsilon^2}{1 -6 \varepsilon +9 \varepsilon^2} > 1 + \frac{1}{n} \iff$

$\iff \frac{1 +12 \varepsilon +36 \varepsilon - 1 +6 \varepsilon - 9 \varepsilon^2}{1 -6 \varepsilon +9 \varepsilon^2} > \frac{1}{n} \iff$

$\iff \frac{27 \varepsilon^2 +18 \varepsilon}{9 \varepsilon^2 -6 \varepsilon +1} > \frac{1}{n} \iff n > \frac{9 \varepsilon^2 -6 \varepsilon +1}{27 \varepsilon^2 +18 \varepsilon}$

A álgebra ficou um pouco pesada neste e eu tentei fazer um caminho mais rápido do que você tentou para evitar maiores confusões. Veja se consegue entender tudo.

por **Aliocha Karamazov** » Seg Set 12, 2011 14:32

Obrigado, MarceloFantini. Ficou bem claro, consegui reproduzir sua resolução. Acho que não vale mais a pena tentar encontrar onde eu errei, teve ter sido em alguma passagem...

Agora deu certo!

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