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[Inequação]

[Inequação]

Mensagempor Aliocha Karamazov » Seg Set 12, 2011 01:27

Caros, vou postar o exercício e minha resolução. O post ficou um pouco maior do que é de costume, porque eu fiz questão de colocar todas as passagens, uma vez que, pelo fato de minha resposta estar "quase" certa, provavelmente eu errei em alguma passagem. Parece complicado, mas não é. Gostaria da colaboração de alguém para que eu possa saber onde e por que errei.

Dado \mathcal{E}>0 arbitrário, determine m\in\mathds{N}* tal que a_{n}\in(L-\mathcal{E},l+\mathcal{E}) para todo n \geq m, onde a_{n}=\frac{1}{2+\sqrt{\frac{n+1}{n}}} e L=\frac{1}{3}

Eu fiz dessa maneira:

|a_{n}-L|<\mathcal{E} \Rightarrow \left|\frac{1}{2+\sqrt{\frac{n+1}{n}}} -\frac{1}{3}\right|<\mathcal{E}

Mas, \left(\frac{1}{2+\sqrt{\frac{n+1}{n}}} -\frac{1}{3}\right)<0, \forall n \in \mathds{N}* (Isso é fácil provar, mas eu omiti para encurtar). Portanto, \left|\frac{1}{2+\sqrt{\frac{n+1}{n}}} -\frac{1}{3}\right|= -\left(\frac{1}{2+\sqrt{\frac{n+1}{n}}} -\frac{1}{3}\right)

Voltando à inequação:

-\left(\frac{1}{2+\sqrt{\frac{n+1}{n}}} -\frac{1}{3}\right)<\mathcal{E} \Leftrightarrow \left(\frac{1}{2+\sqrt{\frac{n+1}{n}}} -\frac{1}{3}\right)>-\mathcal{E}

\Leftrightarrow \frac{1-\frac{2+\sqrt{\frac{n+1}{n}}}{3}}{2+\sqrt{\frac{n+1}{n}}}>-\mathcal{E} \Leftrightarrow 1-\frac{2+\sqrt{\frac{n+1}{n}}}{3}>-\mathcal{E}  \left(2+\sqrt{\frac{n+1}{n}}\right)

\Leftrightarrow 3 -\left(2+\sqrt{\frac{n+1}{n}}\right)>3\mathcal{E}\left(2+\sqrt{\frac{n+1}{n}}\right)

\Leftrightarrow 1- \sqrt{\frac{n+1}{n}}>-6\mathcal{E} -3\mathcal{E}\sqrt{\frac{n+1}{n}} \Leftrightarrow 3\mathcal{E}\sqrt{\frac{n+1}{n}} -\sqrt{\frac{n+1}{n}}>-6\mathcal{E}-1

\sqrt{\frac{n+1}{n}}(3\mathcal{E}-1)>-6\mathcal{E}-1\Leftrightarrow \sqrt{\frac{n+1}{n}}>\frac{-6\mathcal{E}-1}{3\mathcal{E}-1}

Agora, é preciso elevar ambos lados ao quadrado. No entanto, o membro à direita é negativo para alguns valores de \mathcal{E}. Resolvendo a inequação \frac{-6\mathcal{E}-1}{3\mathcal{E}-1}>0, encontra-se -\frac{1}{6}<\mathcal{E}<\frac{1}{3}.

Elevando-se ambos os lados ao quadrado, segue que:

\frac{n+1}{n}>\left(\frac{-6\mathcal{E}-1}{3\mathcal{E}-1}\right)^2

Com mais algumas manipulações algébricas, (omitidas para não deixar o post ainda mais extenso), chega-se em:

\frac{1}{n}>\frac{27\mathcal{E}^2 +18\mathcal{E}}{9\mathcal{E}^2 -6\mathcal{E} +1} \Leftrightarrow n<\frac{9\mathcal{E}^2 -6\mathcal{E} +1}{27\mathcal{E}^2 +18\mathcal{E}}

No gabarito, está n>\frac{9\mathcal{E}^2 -6\mathcal{E} +1}{27\mathcal{E}^2 +18\mathcal{E}}

Realmente, não faz sentido chegar a um resultado em que n deve ser menor do que alguma coisa, pois o enunciado pede um m tal que\forall n\geq m, a_{n}\in(L-\mathcal{E},l+\mathcal{E})

Gostaria que alguém apontasse onde eu errei.
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Re: [Inequação]

Mensagempor MarceloFantini » Seg Set 12, 2011 05:57

Aliocha, não consegui encontrar o seu erro, mas verifique como eu fiz:

\frac{1}{3} - \frac{1}{2 + \sqrt{\frac{n+1}{n}}} < \varepsilon \iff \frac{1}{3} - \varepsilon < \frac{1}{2 + \sqrt{\frac{n+1}{n}}} \iff 1 - 3 \varepsilon < \frac{3}{2 + \sqrt{\frac{n+1}{n}}} \iff

\iff \frac{1}{1 - 3 \varepsilon} > \frac{2 + \sqrt{\frac{n+1}{n}}}{3} \iff \frac{3}{1 - 3 \varepsilon} > 2 + \sqrt{\frac{n+1}{n}} \iff

\iff \frac{3 - 2(1 - 3 \varepsilon)}{1 - 3 \varepsilon} > \sqrt{\frac{n+1}{n}} \iff \frac{1 + 6 \varepsilon}{1 - 3 \varepsilon} > \sqrt{\frac{n+1}{n}} \iff

\iff \frac{1 +12 \varepsilon + 36 \varepsilon^2}{1 -6 \varepsilon +9 \varepsilon^2} > 1 + \frac{1}{n} \iff

\iff \frac{1 +12 \varepsilon +36 \varepsilon - 1 +6 \varepsilon - 9 \varepsilon^2}{1 -6 \varepsilon +9 \varepsilon^2} > \frac{1}{n} \iff

\iff \frac{27 \varepsilon^2 +18 \varepsilon}{9 \varepsilon^2 -6 \varepsilon +1} > \frac{1}{n} \iff n > \frac{9 \varepsilon^2 -6 \varepsilon +1}{27 \varepsilon^2 +18 \varepsilon}

A álgebra ficou um pouco pesada neste e eu tentei fazer um caminho mais rápido do que você tentou para evitar maiores confusões. Veja se consegue entender tudo.
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e^{\pi \cdot i} +1 = 0
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Re: [Inequação]

Mensagempor Aliocha Karamazov » Seg Set 12, 2011 14:32

Obrigado, MarceloFantini. Ficou bem claro, consegui reproduzir sua resolução. Acho que não vale mais a pena tentar encontrar onde eu errei, teve ter sido em alguma passagem...

Agora deu certo!
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}