Pré-Cálculo

por **Claudin** » Ter Ago 30, 2011 13:16

Assinale a alternativa CORRETA:
a) A função $f : R \rightarrow R$ definida por f (x) = e^cos x senx

é par.

Para ser par, necessita de ter um gráfico simétrico ao eixo y em relação ao eixo x. E também f(x) = f(-x)
Então está incorreto, gostaria de ter um contra exemplo

b) A função $f : R \rightarrow R$ definida por f (x) = |x|

é ímpar.

A função modular no caso, é uma função PAR. Com gráfico simétrico.

c)O domínio da função definida por $f(x)=tg(x+\frac{\Pi}{2})$ é $D(f)=\begin{cases}xeR; x{\neq}\frac{\Pi}{2} + K\Pi, KeZ\end{cases}$

Não consegui compreender essa expressão

d)A função $f : (0,+ \infty) \rightarrow R$ definida por $f (x) = x^5e^{- 2 ln x}$ é igual à função $g : (0,+ \infty) \rightarrow R$ definida por
g(x) = x^3

Sendo uma hipótese x=2, os resultados ficarão ditintos.

e)A função $f : \begin{cases}{x e R; x \neq K\Pi , k e Z} \rightarrow R\end{cases}$ definida por f (x) = cot gx

é periódica de período 2p

por **LuizAquino** » Ter Ago 30, 2011 18:03

a) A função $f : R \rightarrow R$ definida por é par.

Analisando o comando LaTeX que você tentou escrever, eu presumo que a função do exercício seria $f(x) = e^{\cos x}\,\textrm{sen}\,x$ .

Para avaliar se uma função é par, basta verificar se é válido que f(x) = f(-x). Nesse exercício, veja que:
$f(-x) = e^{\cos(-x)}\,\textrm{sen}\,(-x) = e^{\cos x}(-\,\textrm{sen}\,x) = - e^{\cos x}\,\textrm{sen}\,x \neq f(x)$

Vale destacar que nesse desenvolvimento foram usados os fatos de que a função cosseno é par e a função seno é ímpar.

b) A função $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por é ímpar.

Para ser ímpar é necessário que f(x) = - f(-x). Isso ocorre para essa função?

c)O domínio da função definida por $f(x)=\,\textrm{tg}\,\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ é $D(f)=\left\{x\in\mathbb{R};\, x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi,\, k\in\mathbb{Z}\right\}$

Claudin escreveu:Não consegui compreender essa expressão.

A expressão afirma que o domínio dessa função é qualquer número real que seja diferente de $\frac{\pi}{2} + k\pi$ , com k um número inteiro.

Por exemplo, considerando que k = 1, segundo o enunciado do exercício teríamos que o número $\frac{\pi}{2} + \pi$ não faz parte do domínio de f.

Agora, tente analisar essa alternativa.

d)A função $f : (0,+ \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f (x) = x^5e^{- 2 ln x}$ é igual à função $g : (0,+ \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ definida por

Claudin escreveu:Sendo uma hipótese x=2, os resultados ficarão ditintos.

Isso que você afirmou está errado. Usando propriedades de potência e de logaritmo, temos que:

$f (2) = 2^5e^{- 2 \ln 2} = 2^5 e^{\ln 2^{-2}} = 2^5\cdot 2^{-2} = 2^3 = g(2)$

Agora analise novamente essa alternativa.

e)A função $f : \{x \in \mathbb{R};\, x \neq k\pi,\, k \in\mathbb{Z}\} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f (x) =\,\textrm{cotg}\,x$ é periódica de período $2\pi$

Para que essa função seja periódica e tenha esse período, é necessário que $f(x + 2\pi) = f(x)$ . Analise se isso acontece.

por **Claudin** » Ter Ago 30, 2011 19:39

LuizAquino escreveu:Analisando o comando LaTeX que você tentou escrever, eu presumo que a função do exercício seria $f(x) = e^{\cos x}\,\textrm{sen}\,x$ .

Para avaliar se uma função é par, basta verificar se é válido que f(x) = f(-x). Nesse exercício, veja que:
$f(-x) = e^{\cos(-x)}\,\textrm{sen}\,(-x) = e^{\cos x}(-\,\textrm{sen}\,x) = - e^{\cos x}\,\textrm{sen}\,x \neq f(x)$

Vale destacar que nesse desenvolvimento foram usados os fatos de que a função cosseno é par e a função seno é ímpar.

Isso seria uma definição? De seno e cosseno como sendo par e ímpar respectivamente?

LuizAquino escreveu:b) A função $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por é ímpar.
Para ser ímpar é necessário que f(x) = - f(-x). Isso ocorre para essa função?[\quote]
Sim isso ocorre.
Sendo $f(x)=-f(-x)\rightarrow f(x)=|x|\rightarrow-f(-x)=|-x|\rightarrow-f(x)=x$

LuizAquino escreveu:A expressão afirma que o domínio dessa função é qualquer número real que seja diferente de $\frac{\pi}{2} + k\pi$ , com k um número inteiro.

Por exemplo, considerando que k = 1, segundo o enunciado do exercício teríamos que o número $\frac{\pi}{2} + \pi$ não faz parte do domínio de f.

Agora, tente analisar essa alternativa.[\quote]

LuizAquino escreveu:Isso que você afirmou está errado. Usando propriedades de potência e de logaritmo, temos que:

$f (2) = 2^5e^{- 2 \ln 2} = 2^5 e^{\ln 2^{-2}} = 2^5\cdot 2^{-2} = 2^3 = g(2)$

Agora analise novamente essa alternativa.[\quote]

Não consegui compreender quando você chegou nesta parte, em que o logaritmo neperiano não esta mais na base e? Qual propriedade de logaritmo você utilizou em tirando o escalar "-2" trocando-o de lugar?

LuizAquino escreveu: e)A função $f : \{x \in \mathbb{R};\, x \neq k\pi,\, k \in\mathbb{Z}\} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f (x) =\,\textrm{cotg}\,x$ é periódica de período $2\pi$

Para que essa função seja periódica e tenha esse período, é necessário que $f(x + 2\pi) = f(x)$ . Analise se isso acontece.

Continuo não compreendendo esta alternativa.

por **LuizAquino** » Ter Ago 30, 2011 20:07

Claudin escreveu:Isso seria uma definição? De seno e cosseno como sendo par e ímpar respectivamente?

Do estudo de trigometria, sabemos que $\cos x = \cos (-x)$ e $\textrm{sen}\, x = -\,\textrm{sen}\, (-x)$ . Fica fácil perceber essas propriedades ao analisar o círculo trigonométrico.

Desse modo, temos que a função $f(x) = \cos x$ é par enquanto que a função $g(x) = \,\textrm{sen}\, x$ é ímpar.

Claudin escreveu:Não consegui compreender quando você chegou nesta parte, em que o logaritmo neperiano não esta mais na base e? Qual propriedade de logaritmo você utilizou em tirando o escalar "-2" trocando-o de lugar?

Eu utilizei a seguinte propriedade de logaritmos:

$a^{\log_a b} = b$

Exemplo: $3^{\log_3 5} = 5$ .

Vale lembrar que como a é base do logaritmo, então a > 0 e a diferente de 1. Além disso, devemos ter b > 0.

Claudin escreveu:Continuo não compreendendo esta alternativa.

Você deve analisar se para qualquer ângulo x do domíno é correto que $\textrm{cotg}\, x = \,\textrm{cotg}\,\left(x+2\pi\right)$ .

Além disso, você deve verificar se não há outro ângulo T menor do que $2\pi$ tal que $\textrm{cotg}\, x = \,\textrm{cotg}\,\left(x+T\right)$ .

por **Claudin** » Sáb Set 03, 2011 19:12

Qual seria a alternativa correta?

por **LuizAquino** » Sáb Set 03, 2011 21:42

Claudin escreveu:Qual seria a alternativa correta?

Seria a alternativa:

d) A função $f : (0,\,+ \infty) \to \mathbb{R}$ definida por $f (x) = x^5e^{- 2 \ln x}$ é igual à função $g : (0,\,+ \infty) \to \mathbb{R}$ definida por

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