[limite] Ajuda com limite!

por **vinik1** » Dom Ago 28, 2011 13:57

Alguem me dê uma luz..

Estou começando a aprender derivadas, e travei nisso! tenho que usar log neperiano? quebrei a cabeça mas nao resolvi!

como saio disso?

$\lim_{h\rightarrow0} \frac{{e}^{x+h}-{e}^{x}}{h}$

por **LuizAquino** » Dom Ago 28, 2011 14:10

Você tem o limite:
$\lim_{h\to 0} \frac{{e}^{x+h}-{e}^{x}}{h}$

Veja que isso é o mesmo o que:

$\lim_{h\to 0} \frac{{e}^{x}(e^h - 1)}{h}$

Como x é constante em relação a esse limite (que está na variável h), temos que:

${e}^{x} \lim_{h\to 0} \frac{e^h - 1}{h}$

Agora para resolver esse limite, faça a substituição u = e^h - 1

.

A estratégia depois disso é fazer aparecer o limite fundamental $\lim_{u\to 0} (1 + u)^\frac{1}{u} = e$ .

Se desejar ver um exercício que usa esse mesmo tipo de substituição, então veja o Exemplo 4 da vídeo-aula "08. Cálculo I - Limites Exponenciais".

por **vinik1** » Dom Ago 28, 2011 14:20

me desculpe, mas não intendi.. (N)
O que seria aparecer o "limite fundamental"?

Vou assistir a aula e ver se consigo entender

Joguei esse calculo no Microsoft Mathematics, e a saida foi e^x

por **LuizAquino** » Dom Ago 28, 2011 14:30

vinik1 escreveu:me desculpe, mas não intendi.. (N)
O que seria aparecer o "limite fundamental"?

Seria desenvolver algebricamente o limite de modo a fazer aparecer o limite fundamental desejado.

vinik1 escreveu:Vou assistir a aula e ver se consigo entender

Com certeza a vídeo-aula pode lhe ajudar a entender a ideia.

vinik1 escreveu:Joguei esse calculo no Microsoft Mathematics, e a saida foi e^x

Sim, temos que:

$\lim_{h\to 0} \frac{{e}^{x+h}-{e}^{x}}{h} = e^x$

Note que com as informações dadas anteriormente, você deve obter que:
$\lim_{h\to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$

Além disso, eu prefiro usar um Programa Livre como o SAGE do que um programa proprietário como esse que você citou.

por **vinik1** » Dom Ago 28, 2011 15:07

Note que com as informações dadas anteriormente, você deve obter que:
$\lim_{h\to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$

como?

por **LuizAquino** » Dom Ago 28, 2011 22:46

vinik1 escreveu:como?

Você assistiu a vídeo-aula? Como disse acima, no Exemplo 4 dessa vídeo-aula é feito uma substituição como a que você precisa nesse exercício.

No caso, você tem o limite:

$\lim_{h\to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$

Fazendo u = e^h - 1

, temos que $\ln (u + 1) = h$ . Além disso, quando $h\to 0$ temos que $u \to 0$ . Desse modo, podemos reescrever o limite como:

$\lim_{u\to 0} \frac{u}{\ln(u+1)}$

Mas, isso é o mesmo que:

$\lim_{u\to 0} \frac{1}{\frac{1}{u}\ln(u+1)}$

Usando as propriedades de logaritmo, podemos escrever que:

$\lim_{u\to 0} \frac{1}{\ln(u+1)^\frac{1}{u}}$

Entretanto, esse limite é o mesmo que:

$\frac{\displaystyle{\lim_{u\to 0} 1}}{\displaystyle{\lim_{u\to 0} \ln(u+1)^\frac{1}{u}}}$

No numerador temos o limite de uma constante, o que resulta na própria constante. Já no denominador, como a função logaritmo natural é contínua em todos os pontos de seu domínio, podemos "retirá-la" do limite. Sendo assim, ficamos com:

$\frac{1}{\displaystyle{\ln \lim_{u\to 0} (u+1)^\frac{1}{u}}}$

Agora basta lembrar do limite fundamental citado na mensagem anterior.