Limite

por **Claudin** » Ter Ago 02, 2011 03:10

Não consigo resolver este exercício de limite de função composta.

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt[3]{3x+5}-2}{x^2-1}$

Alguém poderia dar uma dica por onde começar?

por **FilipeCaceres** » Ter Ago 02, 2011 09:17

Olá Claudin,

Tente resolver conforme este aqui

Abraço.

por **Claudin** » Ter Ago 02, 2011 16:07

Já tentei de várias formas
Sendo: $u=\sqrt[3]{3x+5}$ com $3x=u-5\Rightarrowx=\frac{u-5}{3}$

Tentei racionalizando também, mas não consegui.

Estou errando principalmente, pois no numerador seria 3x dentro da raiz, e no numerador seria um x², ai na hora de substituir os valores estou errando.

por **FilipeCaceres** » Ter Ago 02, 2011 17:15

Olá Claudin,

Uma forma seria reescrever da seguinte formar
$\lim_{x\rightarrow1}\frac{(\sqrt[3]{3x+5}-\sqrt[3]{8})}{x^2-1}.\frac{(\sqrt[3]{(3x+5)^2}+\sqrt[3]{3x+5}\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{8^2})}{(\sqrt[3]{(3x+5)^2}+\sqrt[3]{3x+5}\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{8^2})}$

Assim temos,
$\lim_{x\rightarrow1}\frac{3\cancel{(x-1)}}{\cancel{(x-1)}(x+1)(\sqrt[3]{(3x+5)^2}+2\sqrt[3]{3x+5}+4)}$ , pois $x\neq 1$

Logo,
$\lim_{x\rightarrow1}\frac{3}{(x+1)(\sqrt[3]{(3x+5)^2}+2\sqrt[3]{3x+5}+4)}=\frac{3}{2.(4+2.2+4)}=\frac{3}{2.12}=\boxed{\frac{1}{8}}$

Abraço.

por **Claudin** » Ter Ago 02, 2011 17:24

Mas quando aplica-se a racionalização não era pra ficar assim?

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt[3]{3x+5}-2}{x^2-1}.\frac{\sqrt[3]{3x+5}+2}{\sqrt[3]{3x+5}+2}$

por **FilipeCaceres** » Ter Ago 02, 2011 17:39

Outra forma,

Temos,
$\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt[3]{3x+5}-2}{x^2-1}$

Façamos o seguinte
$u=\sqrt[3]{3x+5}$ ,logo $x=\frac{u^3-5}{3}$ como $x\to 1$ então $u\to2$ , pois $u=\sqrt[3]{3.1+5}=2$

Assim temos,
$\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt[3]{3x+5}-2}{x^2-1}$

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt[3]{3x+5}-2}{(x-1)(x+1)}=\lim_{u\rightarrow2}\frac{u-2}{(\frac{u^3-5}{3}-1)(\frac{u^3-5}{3}+1)}$

$\lim_{u\rightarrow2}\frac{9(u-2)}{(u^3-8)(u^3-2)}$

Fazendo,
u^3-8=(u-2)(u^2+2u+4)

Temos,
$\lim_{u\rightarrow2}\frac{9\cancel{(u-2)}}{\cancel{(u-2)}(u^2+2u+4)(u^3-2)}$ ,pois $u\neq 2$

$\lim_{u\rightarrow2}\frac{9}{(u^2+2u+4)(u^3-2)}=\frac{9}{12.6}=\boxed{\frac{1}{8}}$

Mas quando aplica-se a racionalização não era pra ficar assim?
$\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt[3]{3x+5}-2}{x^2-1}.\frac{\sqrt[3]{3x+5}+2}{\sqrt[3]{3x+5}+2}$

Não.

Tente mostrar que:
$x-y=(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y})(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x.y}+\sqrt[3]{y^2})$

Abraço.

por **Claudin** » Ter Ago 02, 2011 18:06

Você racionalizou aplicando o produto notável (a-b)^3

. Somente, por ter uma raiz cúbica no exercício correto?
Se fosse uma raiz quadrada poderia racionalizar sem aplicação de produto notável, como fiz na ultima mensagem deste tópico ?