Limite

por **Claudin** » Ter Ago 02, 2011 03:09

Não consigo resolver este exercício de limite de função composta.

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt[3]{x+7}-2}{x-1}$

Alguém poderia dar uma dica por onde começar?

por **FilipeCaceres** » Ter Ago 02, 2011 09:15

Olá Claudin,

Vou tentar fazer este como exemplo depois você tente os demais.

Façamos o seguinte,
$u=\sqrt[3]{x+7}\therefore x=u^3-7$ , veja que como $x\to 1$ então $u\to 2$ , pois $u=\sqrt[3]{1+7}=2$ .

Assim temos,
$\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt[3]{x+7}-2}{x-1}=\lim_{u\rightarrow2}\frac{u-2}{u^3-8}$

Sabemos que:
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

Logo,
$\lim_{u\rightarrow2}\frac{\cancel{(u-2)}}{\cancel{(u-2)}(u^2+2u+4)}$ , pois $u\neq 2$ .

Portanto,
$\lim_{u\rightarrow2}\frac{1}{u^2+2u+4}=\frac{1}{4+4+4}=\boxed{\frac{1}{12}}$

Abraço.