Limite

por **Claudin** » Qua Jun 29, 2011 22:14

Alguém poderia ajudar na resolução do exercício.

$\lim_{x\rightarrow2}\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{2}}{x-2}$

obs: resolver pela definição

por **Fabio Cabral** » Qui Jun 30, 2011 11:29

Você tem a opção de resolver aplicando L'Hopital. Indeterminação do tipo $\frac{0}{0}$

por **Claudin** » Qui Jun 30, 2011 11:48

Gostaria de resolver sem aplicar o L'Hopital como manda o exercício!

por **LuizAquino** » Qui Jun 30, 2011 11:50

Qual é o texto completo e original do exercício?

Dica
Utilizando produtos notáveis, note que:
$x - 2 = {\sqrt[3]{x}}^3 - {\sqrt[3]{2}}^3 = \left(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{2}\right)\left(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x}\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2^2}\right)$

por **Claudin** » Qui Jun 30, 2011 12:03

Resolver pela definição o limite dado:

Este é o enunciado!

Como você elevou ao quadrado os dois termos? Só pra cair em produto notável?

por **LuizAquino** » Qui Jun 30, 2011 12:14

Coisa alguma foi "elevada ao quadrado".

A ideia é usar o produto notável: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

.

Temos a expressão x - 2. Como fazer aparecer a diferença entre cubos, mas sem alterar o valor da expressão original? Ora, basta usar o fato de que $\sqrt[3]{a}^3 = a$ . Ou seja, é válido que $x - 2 = \sqrt[3]{x}^3 - \sqrt[3]{2}^3$ .

por **Claudin** » Qui Jun 30, 2011 12:22

Correto Luiz. :y:

por **Fabio Cabral** » Qui Jun 30, 2011 13:42

$\lim_{x\rightarrow2}\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{2}}{(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{2}).(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}.\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{2^2})} = \lim_{x\rightarrow2}\frac{1}{(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}.\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{2^2})} = \frac{1}{3\sqrt[3]{2^2}}$ ou $\frac {1}{3.{2}^{\frac{2}{3}}}$

Correto?