um quadrado traçando circunferências

[maykonnunes]

Dado um quadrado de lado x, com centro em cada um dos vértices, traçam-se 4 circunferência de raio x. Determine a área do quatrilátero curvilíneo interior ao quadrado.

[vanessafey]

Não consigo desenvolver... Acredito que seja uma figura do tipo:

Sendo assim, todas as circunferências tem um quarto de sua parte dentro do quadrado, ou seja (?r^2)/4.

Para calcular o setor que falta faremos a área do quadrado menos o que já temos A_(Q=) x^2-(?r^2)/4

A partir daí não sei mais como continuar...

[FilipeCaceres]

Acho que você desenhou errado, acredito que o desenho correto seja este

quadrado.png (15.12 KiB) Exibido 3377 vezes

E o que se pede é a área em verde.

[maykonnunes]

sim felipe está certo seu desenho

[vanessafey]

Então podemos traçar um triângulo eqüilátero através da intersecção entre as circunferências e os vértices do quadrado.
Por se tratar de um triângulo eqüilátero, sabemos que o mesmo também é eqüiângulo, logo, seus ângulos internos são de 60°.

Calculando a área circular deste triângulo temos que,

(60?x^2)/360?(?x^2)/6

Seria assim?? E agora? Como continuo?

[FilipeCaceres]

quadrado_setor.png (17.59 KiB) Exibido 3353 vezes

A área procurada é igual à área de um quadrado de lado b mais 4 vezes a área do segmento circular sombreado em verde.
1) Calcular o lado do quadrado
Seja logo,




2) Calcular a área do seguimento circular






3)Área desejada






PS.: Eu calculei com o lado do quadrado ABCD valendo "a" pois não consegui definir como x no geogebra.

Fazendo a=x, temos a resposta:

Espero que seja isso.

[vanessafey]

Sim, é exatamente isso.

Agora te pergunto: No geogebra conseguimos observar que alfa é 30º, mas teoricamente, não sei como provar isso...

[FilipeCaceres]

Como temos uma quadrado os pontos E e G dividem o o arco BD em 3 partes iguais, sendo assim o ângulo de cada arco terá um valor igual a 30.

Abraço.