Limite

por **Claudin** » Sáb Mai 28, 2011 10:26

Pode-se afirmar que todas as vezes que existir limites laterais diferentes o limite não existe?
Ou seja, sempre que for uma função descontínua não terá limites (no caso somente os limites laterais diferentes).

Abraço

por **LuizAquino** » Sáb Mai 28, 2011 19:38

Por definição, dizemos que $\lim_{x\to c} f(x)$ existe e é igual a L se, e somente se, $\lim_{x\to c^-} f(x) = \lim_{x\to c^+} f(x) = L$ .

Não confundir o fato de uma função ser descontínua em um ponto com o fato de existir ou não limite naquele ponto.

Por exemplo, a função $f(x) = \frac{x^2- 1}{x - 1}$ é descontínua no ponto x = 1, porém $\lim_{x\to 1}f(x)$ existe e é igual a 2.

Já a função $f(x)=\begin{cases}x - 1;\textrm{ se }x \leq 1 \\ x + 1;\textrm{ se }x > 1 \end{cases}$ também é descontínua no ponto x = 1 e temos que $\lim_{x\to 1}f(x)$ não existe.

por **Claudin** » Dom Mai 29, 2011 01:42

Valeu pela ajuda Luiz.

No ultimo exemplo, consegui notar a descontinuidade. Porém não consegui notar que o limite não existe, quando x tende a 1. Não seria 0 a resposta para o limite?

por **LuizAquino** » Dom Mai 29, 2011 09:52

Qual é o valor de $\lim_{x\to 1^-} f(x)$ ?

E de $\lim_{x\to 1^+} f(x)$ ?

Os valores desses limites laterais são iguais?

por **Claudin** » Dom Mai 29, 2011 20:41

LuizAquino escreveu:Qual é o valor de $\lim_{x\to 1^-} f(x)$ ?

E de $\lim_{x\to 1^+} f(x)$ ?

Os valores desses limites laterais são iguais?

No segundo exemplo como ja tinha dito, a descontinuidade foi entendida.

Onde: $f(x)=\begin{cases}x - 1;\textrm{ se }x \leq 1 \\ x + 1;\textrm{ se }x > 1 \end{cases}$

Portanto: $\lim_{x\rightarrow1^-}x-1\Rightarrow1-1 = 0$

e $\lim_{x\rightarrow1^+}x+1\Rightarrow1+1 = 2$

Concluindo que os limites laterais são distintos, comprovando a descontinuidade!

Gostaria de saber porque não existe o limite?