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Limite pela definição

Limite pela definição

Mensagempor -civil- » Qui Mai 26, 2011 02:37

Preciso calcular esse limite pela definição:

g(x)=\sqrt{2x+1} em p = 1

Eu desenvolvi e cheguei até isso:

g^\prime(x)\ =         \lim_{\ x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{\(x-0} = ... = \lim_{\ x\to0}\frac{\sqrt{2x+1}-1}{\ x}

Eu imagino que eu preciso cancelar alguma coisa nesse limite para não dar indefinição, mas eu não consigo pensar em nenhuma forma de fazer isso.
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Re: Limite pela definição

Mensagempor demolot » Qui Mai 26, 2011 07:10

se separares ficas:

\frac{\sqrt[]{2x+1}}{x}-\frac{1}{x}

aplicado o limite vais ter

1/0 - 1/0 = 00 - 00
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Re: Limite pela definição

Mensagempor -civil- » Qui Mai 26, 2011 09:48

Percebi que quando escrevi aqui acabei colocando p=1 em vez de p=0. De qualquer forma, eu utilizei nos cálculos p=0 e fazendo o que você mostrou, meu resultado vai ser 0. Só que o gabarito (7.17 - 1 (b) do Guidorizzi) mostra que a solução é 1.
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Re: Limite pela definição

Mensagempor FilipeCaceres » Qui Mai 26, 2011 10:45

Não seria isto??
\lim_{x\to 0}{\sqrt{2x+1}}=\sqrt{\lim_{x\to 0}(2x+1)}=1
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Re: Limite pela definição

Mensagempor Claudin » Qui Mai 26, 2011 11:14

Eu calcularia do mesmo modo que o Felipe calculou!

Abraço
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Re: Limite pela definição

Mensagempor LuizAquino » Qui Mai 26, 2011 13:31

-civil- escreveu:Preciso calcular esse limite pela definição:

g(x)=\sqrt{2x+1} em p = 1


-civil- escreveu:Percebi que quando escrevi aqui acabei colocando p=1 em vez de p=0.
(...)
Só que o gabarito (7.17 - 1 (b) do Guidorizzi) mostra que a solução é 1.


Por favor, tenha mais atenção ao enviar o exercício.

Na verdade o texto que consta nessa seção do Guidorizzi é:
1. Calcule, pela definição, a derivada da função dada, no ponto dado.
(...)
b) g(x) = \sqrt{2x + 1} em p = 0.


Em resumo: o exercício solicita que seja calculada a derivada pela definição e não o limite pela definição como você escreveu em sua primeira mensagem.

Agora, vejamos o exercício correto.

Aplicando a definição de derivada, temos que:
g^\prime(0) = \lim_{x\to 0} \frac{g(x)-g(0)}{x - 0} = \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{2x+1} - 1}{x} .

Agora, para continuar o exercício você precisa multiplicar tanto o numerador quanto o denominador por \sqrt{2x+1} + 1 .
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}