Análise Combinatória - "Ban. Sinalizadoras e Prof. Niltinho"

[raimundoocjr]

01. Uma torre de comunicações conta com 5 bandeiras sinalizadoras, e as mensagens são enviadas quando uma ou mais bandeiras são hasteadas. Quantas mensagens distintas podem ser enviadas?
a) 125
b) 245
c) 325
d) 420
e) 640

A priori não tenho uma base para início.

02. A mala do professor Niltinho tem um cadeado cujo segredo é uma combinação com 5 algarismos, cada um dos quais podendo varias de 0 a 9. Ele esqueceu a combinação que escolhera como segredo, mas sabe que atende às seguintes comdições:
I) Se o primeiro algarismo é ímpar, então o último algarismo também é ímpar;
II) Se o primeiro algarismo é par, então o último algarismo é igual ao primeiro;
III) A soma do segundo e terceiro algarismos é igual a 5.
Quantas combinações diferentes atendem às condições estabelecidas pelo professor Niltrinho?
a) 1.175
b) 1.320
c) 1.640
d) 1.800
e) 1.940

Tentei resolvê-la assim;
Considerando o inciso I: 5._._.5 (sendo os travessões completados pelas combinações: 0 e 5; 1 e 4; 2 e 3; 3 e 2; 4 e 1; 5 e 0, respectivamente). Em síntese será o produto de 6 (combinações para a soma ser 5) e 25 (inciso I). Já com o inciso III tem-se: 5._._.1, utilizando as mesmas combinações já citadas o resultado é o produto de 5 (inciso III) e 6 (combinações). Somando 150 e 30 obtém-se 180, não correspondendo nenhuma alternativa com isto.

Por favor ajudem-me, desde já obrigado.

[FilipeCaceres]

Vou postar a primeira, depois eu vejo o outro e alguém resolve.

Observe que você pode usar ou apenas 1 ou 2,3,4,5, desta forma usando o princípio aditivo podemos escrever o seguinte:
mensagens.

Abraço.

[raimundoocjr]

Obrigado por ajudar na primeira questão. A número 2 ainda está me deixando confuso. Se alguém puder ajudar é bem-vindo.

[FilipeCaceres]

Ainda bem que você "ressuscitou" esta questão,pois eu já havia me esquecido dela.
Vamos para a questão.
Façamos os cinco risquinhos então:
_._._._._

IMPAR
Para o primeiro e o último temos 5(1,3,5,7,9)
5._._._.5

A soma do segundo e terceiro é igual a 5,logo so podemos colocar os seguinte números (0,1,2,3,4,5), desta forma temos 6 possibilidades para o primeiro e apenas 1 para o segundo.
5.6.1._.5

Para nosso quarto número temos 10 possibilidades,visto que não foi nos dado nenhuma restrição.
5.6.1.10.5 =1800

PAR
Para os número pares teremos,
5.6.1.10.1=300

Observe que coloquei 1 no último pois ao escolher um dos 5 números pares para o primeiro so nos resta uma possibilidade para o último,pois deve ser igual.

Desta forma temos que o total de possibilidades é:


Abraço.

[raimundoocjr]

Obrigado. De facto, o problema era a análise das restrições impostas.