Questão FUVEST

por **Guilherme Carvalho** » Ter Mai 10, 2011 17:19

Galera me ajuda ai não estou conseguindo fazer essas

O valor real a e o menor entre os valores de x que satisfazem a equação $2{log}_{2}(1+\sqrt[2]{2x})-{log}_{2}(\sqrt[2]{2x})=3$ .Então, ${log}_{2}\left( \frac{2a+4}{3}\right)$ é igual a:

a)1/4
b)1/2
c)1
d)3/2
e)2

Agradeço desde ja

por **carlosalesouza** » Qui Mai 12, 2011 14:53

Olá... não há nenhum erro na transcrição?

Eu fiz e refiz esse exercício e não cheguei em nenhuma das alternativas... a resposta que encontro sempre é $\log_2(7-4\sqrt2)$ , que dá aproximadamente 0,425...

Um abraço

por **Guilherme Carvalho** » Sex Mai 13, 2011 12:11

Cara ta igualzinho aqui no livro.... a resposta do gabarito é b)1/2

por **carlosalesouza** » Sex Mai 13, 2011 14:18

Eu devo estar perdendo algum detalhe.... a solução que eu encontrei é meio longa... agora não tem como eu postar ela aqui...

Mas posto ainda hoje... dai a gente pode analisar o que eu estou deixando passar... rs

por **Guilherme Carvalho** » Sex Mai 13, 2011 14:34

blz posta ai. pq essa questão ta mto foda

por **carlosalesouza** » Sex Mai 13, 2011 15:50

Vou postar em partes.... rs

temos:
$\log_2\left(1+\sqrt{2x} \right )-log\left (\sqrt{2x}\right )=3$

Pelas propriedades do logaritmo:
log(a)+log(b) = log(a.b)
log(a)-log(b) = log(a/b)

Então:
$\log_2\left(\frac{\left(1+\sqrt{2x} \right )^2}{\sqrt{2x}} \right )=3$

Agora começamos a desenvolver:
$\log_2\left(\frac{1+2\sqrt{2x}+2x}{\sqrt{2x}} \right )=3$

sabemos então, que:
$\\ 2^3 = \frac{1+2\sqrt{2x}+2x}{\sqrt{2x}}\\ 8\sqrt{2x}=1+2\sqrt{2x}+2x\\ 8\sqrt{2x}-2\sqrt{2x}=1+2x\\ 6\sqrt{2x}=1+2x$

Elevamos ambos os lados ao quadrado:

$36\cdot 2x=1+4x+4x^2$

Dividimos ambos os lados por 4:
$\\ 18x=\frac{1}{4}+x+x^2\\ x^2-17x+\frac{1}{4}=0$

Temos uma equação de segundo grau, que nos dará $\Delta = 288=2^5.3^2$ , nos dando uma raíz $\pm12\sqrt2$ ...

pegamos logo a raíz negativa, que vai nos dar um valor menor de x:
$x=\frac{17-12\sqrt2}{2}$

Esse será nosso valor de a... vamos inseri-lo, então, na próxima sentença:
$\\ \log_2\left(\frac{2\left(\frac{17-12\sqrt2}{2}+4\right)}{3} \right )\\ \log_2\left(\frac{17+4-12\sqrt2}{3} \right )\\ \log_2\left(\frac{21-12\sqrt2}{3} \right )$

Dividindo ambos por 3:
$\\ \log_2(7-4\sqrt2)$

E foi até onde eu cheguei... to batendo cabeça ver se vou além disso... rs

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