Demonstração de limites

por **jessicaccs** » Dom Mar 20, 2011 11:19

O exercício pede para demonstrar, utilizando a definição de limite:

O seguinte limite:

$f:\Re\rightarrow\Re,\,f(x)\,=\,\,x{}^{2}+2,\,\lim_{x\rightarrow1}f(x)\,=\,3$

Consegui demonstrar o seguinte:

$0\,<\,x-1\,<\,\delta,\,\left|f(x)-3 \right|<\varepsilon$

Logo,

$\left|f(x)-3 \right|<\varepsilon$
$\left|x{}^{2}+2-3 \right|<\varepsilon$
$\left|x{}^{2}-1 \right|<\varepsilon$
$\left[\left(x+1 \right)\left(x-1 \right) \right]<\varepsilon$
$\left|x+1 \right|\left|x-1 \right|<\varepsilon$

A partir daí, não consegui desenvolver o resto do problema.
No livro, tem um problema parecido com esse e que possui a resolução. Ele falava de $\delta{}_{min}$ , mas não entendi.

Obrigada pela atenção.

por **LuizAquino** » Dom Mar 20, 2011 12:28

jessicaccs escreveu:No livro, tem um problema parecido com esse e que possui a resolução. Ele falava de $\delta_{min}$ , mas não entendi.

Você precisa entender a resolução apresentada no livro, pois é exatamente a mesma estratégia que você vai ter que usar nesse exercício.

Você precisa delimitar |x+1|, isto é, determinar uma constante c tal que |x + 1|< c.

Como x está próximo de 1, é razoável, por exemplo, delimitarmos que |x-1| < 1/2. Disso, nós obtemos que -1/2 < x-1 < 1/2, ou ainda, 3/2 < x+1 < 5/2. Portanto, |x+1| < 5/2.

Desse modo, de |x+1||x-1| < $\varepsilon$ , nós teremos que |x-1| < $\frac{2\varepsilon}{5}$ . Mas, nós havíamos delimitado que |x-1| < 1/2.

E agora, devemos tomar $\delta$ =1/2 ou $\delta = \frac{2\varepsilon}{5}$ ?

Simples! Para ter certeza que ambas as delimitações são atendidas, tomamos $\delta_{min} = \min\left\{1/2,\, \frac{2\varepsilon}{5}\right\}$ .

Desse modo, teremos que: $0 < |x-1| < \delta_{min} \Rightarrow \left|(x^2+2)-3 \right| < \varepsilon$

Demonstração de limites

Demonstração de limites

Demonstração de limites

Re: Demonstração de limites

Quem está online