Dúvida Resolução integral por partes!

por **lucat28** » Sex Mar 18, 2011 14:47

Boa tarde senhores! To tendo dificudade em resolver a sequinte integral: $\int_{}^{}\sqrt[]{x}Lnxdx$

A minha resposta é a seguinte: $\frac{2}{3}\sqrt[]{{x}^{3}}(Lnx-\frac{2}{3})+c$

Sendo que a resposta que consta no gabarito é: $\frac{2}{3} x \sqrt[]{x}Lnx-\frac{4}{9}x\sqrt[]{x}+c$
então queria a ajuda de você pra achar o erro.

Desde já, obrigado!

por **LuizAquino** » Sex Mar 18, 2011 16:29

Recomendo que estude sobre fatoração e radiciação. A sua resposta é a mesma do gabarito.

$\frac{2}{3}\sqrt[]{{x}^{3}}\left(\ln x-\frac{2}{3}\right)+c = \frac{2}{3}\sqrt{{x}^{3}}\cdot (\ln x)- \frac{2}{3}\sqrt{{x}^{3}} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)+c$

$= \frac{2}{3}\sqrt{x^2\cdot x}\ln x - \frac{4}{9}\sqrt{x^2\cdot x} + c$

$= \frac{2}{3}x\sqrt{x}\ln x - \frac{4}{9}x\sqrt{x} + c$

Observação
A simplificação $\sqrt{x^2} = x$ só pode ser feita pois no contexto dessa integral temos que x > 0.