Limite

por **ARCS** » Qui Fev 17, 2011 22:50

Como calcular esse limite algebricamente sem usar as regras de L'Hôpital?

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$

Se aplicarmos a regra de L'Hôpital duas vezes, teremos:

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^x-1}{2x} = \lim_{x\rightarrow0} \frac{e^x}{2}=\frac{1}{2}$

por **LuizAquino** » Sex Fev 18, 2011 22:50

ARCS escreveu:Como calcular esse limite algebricamente sem usar as regras de L'Hôpital?
$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$

Uma opção é usar o desenvolvimento em Série de Taylor para e^x

em torno de a=0:

$e^x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \ldots$

Substituindo no limite:

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \ldots \right)-(1+x)}{x^2}$

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{2} + \frac{x}{6} + \frac{x^2}{24} + \frac{x^3}{120} + \ldots$

Note que todas as parcelas dessa soma, exceto a primeira, tem o formato $\frac{x^k}{(k+2)!}$ , sendo k>=1. Como x tende a zero, cada parcela dessa tenderá a zero, portanto:
$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2} = \frac{1}{2}$

Aproveito para dizer que alguns limites só são apresentados após o estudo da Regra de L'Hôpital. Ou ainda, após o estudo da expensão em Série de Taylor. Isso não é feito à-toa.

Agora, uma curiosidade: de onde você retirou esse exercício?

Se foi de um livro, ele apareceu antes ou depois do estudo das Regras de L'Hopital ou da Série de Taylor? Se foi de uma lista de exercícios, os conteúdos citados anteriormente já tinham sido vistos?

por **ARCS** » Dom Fev 20, 2011 19:16

É uma questão dos tópicos iniciais de Limites e Derivadas do livro do James Stewart. Já estudei L'hopital, mas fiquei curioso quanto à existência de outras formas de resolução.

Obrigado