simplificação

por **jose henrique** » Qui Fev 17, 2011 18:48

$\frac{\sqrt[]{({x}^{2}-9)({x}^{2}+25)}}{x-3} =x+5$ , para todo x $\leq$ -3 ou x>3

eu posso $\frac{\left|x-9 \right|\left|x+25 \right|}{x-3}=x+5 \Rightarrow$ fazer isso.

na verdade eu não estou entendo esta questão do x elevado ao quadrado dentro de uma raiz, eu sei que não posso simplificar simplesmente colocando como resposta o x visto que ele está elevado ao quadrado, mas quando tem uma expressão desse jeito o que devo fazer.

por **LuizAquino** » Qui Fev 17, 2011 20:40

jose henrique escreveu: $\frac{\sqrt{({x}^{2}-9)({x}^{2}+25)}}{x-3} =x+5$ , para todo $x \leq -3$ ou

$\frac{\left|x-9 \right|\left|x+25 \right|}{x-3}=x+5$ , eu posso fazer isso?

Não.

Se o objetivo for determinar o valor de x, então o correto é fazer:
$\sqrt{({x}^{2}-9)({x}^{2}+25)} = (x-3)(x+5)$

Elevar ambos os membros ao quadrado:
$\left(\sqrt{({x}^{2}-9)({x}^{2}+25)}\right)^2 = \left[(x-3)(x+5)\right]^2$

Como a quetão diz que $x \leq -3$ ou x>3

, então o valor dentro da raiz que aparece no primeiro membro é necessariamante positivo. Portanto, podemos fazer a simplificação:
$({x}^{2}-9)({x}^{2}+25) = \left[(x-3)(x+5)\right]^2$

Lembrando do produto notável a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

, podemos fazer:
(x-3)(x+3)(x^2+25) = (x-3)^2(x+5)^2

Como x é diferente de 3 (já que x>3), então podemos dividir toda a equação por (x-3). Além disso, temos o produto notável (a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2

:

Agora, desenvolva essa equação para obter uma equação do 2º grau. A partir daí aplique a fórmula de Bháskara para achar as soluções.

por **jose henrique** » Qui Fev 17, 2011 21:26

quando vc afirma que o valor dentro raiz no primeiro membro é necessáriamente positivo é levando em conta que x>3. caso fosse somente x<-3 teria solução a equação

por **jose henrique** » Qui Fev 17, 2011 21:52

caso eu queira simplificar a seguinte expressão $\frac{\sqrt[]{\left({x}^{2}-9 \right)\left({x}^{2}+25 \right)}}{x-3}$
eu poderia elevar tanto o numerador quanto o denominador ao quadrado e para eu começar a simplificar.

por **LuizAquino** » Qui Fev 17, 2011 22:08

jose henrique escreveu:quando vc afirma que o valor dentro raiz no primeiro membro é necessariamente positivo é levando em conta que x>3. caso fosse somente x<-3 teria solução a equação?

Sim. Faça um teste. Coloque, por exemplo, -4 (que é menor do que -3) na expressão com a raiz:

$\sqrt{[(-4)^2-9 ][(-4)^{2}+25]} = \sqrt{7\cdot 41} = \sqrt{287}$

Note que o valor dentro da raiz foi positivo.

jose henrique escreveu:caso eu queira simplificar a seguinte expressão $\frac{\sqrt{\left({x}^{2}-9 \right)\left({x}^{2}+25 \right)}}{x-3}$
eu poderia elevar tanto o numerador quanto o denominador ao quadrado e para eu começar a simplificar.

Não.

Se você tem apenas uma fração e eleva o numerador e o denominador ao quadrado, então você altera a fração. Por exemplo, $\frac{2}{5}$ é diferente $\frac{4}{25}$ . Basta efetuar a divisão que você irá encontrar $\frac{2}{5} = 0,4$ e $\frac{4}{25} = 0,16$ .

Por outro lado, se você tem uma equação, então pode elevar ambos os membros da mesma ao quadrado e ela não se altera. Por exemplo, x+1=2

e

ambas tem solução x=1

.

Para ser mais exato, na segunda equação também poderíamos encontrar x=-3, mas isso não importa, pois perceba que tanto a primeira quanto a segunda equação tem uma solução em comum que é x=1

.

por **jose henrique** » Qui Fev 17, 2011 22:17

como eu poderia simplificar então

por **LuizAquino** » Qui Fev 17, 2011 22:25

jose henrique escreveu:como eu poderia simplificar então

Não dá para fazer muita coisa nesse caso.

Uma simplificação poderia ser:
$\frac{\sqrt{\left({x}^{2}-9 \right)\left({x}^{2}+25 \right)}}{x-3} = \frac{\sqrt{\left(x-3 \right)(x+3)\left({x}^{2}+25 \right)}}{\sqrt{(x-3)^2}}$

$=\sqrt{\frac{\left({x}+3\right)\left({x}^{2}+25 \right)}{x-3}}$ .

por **jose henrique** » Qui Fev 17, 2011 22:42

só não entendi por que vc colocou o denominador dentro de uma raiz, uma vez que ele não estava

por **LuizAquino** » Qui Fev 17, 2011 22:52

jose henrique escreveu:só não entendi por que vc colocou o denominador dentro de uma raiz, uma vez que ele não estava

Porque se temos $\frac{\sqrt{x-3}}{x-3}$ não podemos simplificar (x-3) com (x-3), pois um está dentro e ou outro está fora da raiz. Por outro lado, se fazemos $\frac{\sqrt{x-3}}{\sqrt{(x-3)^2}}$ aí podemos efetuar a simplificação já que teremos algo como $\sqrt{\frac{x-3}{(x-3)^2}} = \sqrt{\frac{1}{x-3}}$ .

por **jose henrique** » Qui Fev 17, 2011 23:06

me desculpa perguntar, mas em qual regra eu posso me basear para resolver este tipo de questões, pois irei até procurar, pois com a sua resolução eu entendi o porquê da raiz do denominador, mas não compreendi como posso fazer isso sem afetar alguma regra.

por **LuizAquino** » Qui Fev 17, 2011 23:31

jose henrique escreveu:me desculpa perguntar, mas em qual regra eu posso me basear para resolver este tipo de questões, pois irei até procurar, pois com a sua resolução eu entendi o porquê da raiz do denominador, mas não compreendi como posso fazer isso sem afetar alguma regra.

Para executar os passos de simplificação sem quebrar as "regras", primeiro você precisa conhecer todas as "regras", pois só assim saberá se está ou não quebrando alguma.

Para isso, você precisa começar a estudar as propriedades de potência, a estudar as propriedades de radiciação, a estudar os produtos notáveis e a estudar fatoração. Isto é, o que não falta é assunto para você estudar! :-D

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