Equação para determinar centro e raio da circunferencia

por **freddrago** » Qua Fev 16, 2011 13:12

Considerando como comprimento da secante AB a variavel "X", e o comprimento da flecha FF' a variavel "Y", qual seria a equação para determinar o raio da circunferencia?

Grato

Fred.

por **freddrago** » Qua Fev 16, 2011 22:08

Considerando que todo triangulo inscrito, com um dos catetos igual ao diametro é retangulo. Extendendo-se a flecha, temos uma linha que corta o centro da circunferencia que chamamos de ponto C.

desta forma temos o triangulo ACF' e outros dois triangulos semalhantes, AFF' e ACF, que representarei da seguinte forma:

AC = a
CF' = b
F'A = c

AF = x/2
FF' = y
F'A = c

AC = a
CF = e
AF = x/2

pelo teorema de tales, e por algum motivo estou errando aqui teriamos:

a/b = (X/2)/y = a/e
b/c = y/c = e/(x/2)
a/c = (x/2)/c = a/(x/2)

ac = x^2/4

e por Pitagoras, temos:

$c=\sqrt[]{(4y^2+x^2)/4}$

substituindo em a=x^2/4c

$a=x^2/4\sqrt[]{(4y^2+x^2)/4}$
a=x^2/4y^2+2x^2

considerando:

a^2=b^2+c^2

$(1/4y^2+2)^2=b^2+( \sqrt[]{(4y^2+x^2)/4} )^2$
(1/4y^2+2)^2=b^2+(4y^2+x^2)/4

- Não sei se esta redução é coerente. é aqui que estou travando...

se alguem puder ajudar....

por **Renato_RJ** » Qua Fev 16, 2011 22:41

Boa noite Fred, tudo em paz ??

Seguinte, no seu desenho você desenhou uma corda indo do ponto C ao ponto A e depois outra que ia do ponto A ao ponto F'. Beleza, reparou que esse segmento CAF' forma um semicírculo ? Então, podemos afirmar que o ângulo CÂF' é reto, isto é, mede 90º pois todos os ângulos que subtendem um semicírculo são retos.

Logo, usando as suas definições:

$CF = CF' - FF' \Rightarrow \, CF = 2r - y$

Mas, como o ângulo CÂF' é reto e o segmento AF mede $\frac{x}{2}$ então teremos um triângulo retângulo CAF onde:

$CF = \sqrt {CA^2 - AF^2 } \Rightarrow \, CF = \sqrt {a^2 - \frac{x^2}{4} }$

Fazendo CF = CF (meio obvio essa):

$2r - y = \sqrt{a^2 - \frac{x^2}{4}} \Rightarrow \, 4r^2 - 4ry + y^2 = a^2 - \frac{x^2}{4} \Rightarrow \, y^2 - a^2 + \frac {x^2}{4} = 4ry - 4r^2$

Se houver erros, me perdoe, posso ter escorregado em alguma definição por aí... rss...

Abraços,
Renato.

por **LuizAquino** » Qui Fev 17, 2011 07:56

freddrago escreveu:Considerando que todo triangulo inscrito, com um dos catetos igual ao diametro é retangulo. Extendendo-se a flecha, temos uma linha que corta o centro da circunferencia que chamamos de ponto C.

circulo_2.jpg (6.29 KiB) Exibido 4020 vezes

Correção: A hipotenusa deve ser igual ao diâmetro e não o cateto.

Para ser mais preciso, só podemos inscrever um triângulo retângulo em uma circunferência se a hipotenusa dele for igual ao diâmetro da circunferência. Isso deve-se ao fato apontado pelo colega Renato.

Renato_RJ escreveu:(...) reparou que esse arco CAF' forma um semicírculo ? Então, podemos afirmar que o ângulo CÂF' é reto, isto é, mede 90º pois todos os ângulos que subtendem um semicírculo são retos.

No exercício, você está considerando que AF=FB=x/2 (F é ponto médio de AB=x), FF'=y e FF' é perpendicular a AB.

Como vimos, o triângulo CAF' é retângulo. Aplicando a relação métrica que envolve a altura do triângulo retângulo e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa, temos que $AF^2 = CF\cdot FF^\prime$

Lembrando que CF = 2r - y

, nós obtemos que $\frac{x^2}{4} = (2r-y)y$ . Isolando r, nós obtemos $r = \frac{x^2}{8y}+\frac{y}{2}$ .

por **Renato_RJ** » Qui Fev 17, 2011 08:06

LuizAquino escreveu:
No exercício, você está considerando que AF=FB=x/2 (F é ponto médio de AB=x), FF'=y e FF' é perpendicular a AB.

Como vimos, o triângulo CAF' é retângulo. Aplicando a relação métrica que envolve a altura do triângulo retângulo e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa, temos que $AF^2 = CF\cdot FF^\prime$

Lembrando que , nós obtemos que $\frac{x^2}{4} = (2r-y)y$ . Isolando r, nós obtemos $r = \frac{x^2}{8y}+\frac{y}{2}$ .

Sabia que eu tinha esquecido alguma coisa.. Hehhehe.. Muito obrigado Luiz :y: