Olá viniciusdosreis,
Como está na resolução da questão?
Segue abaixo a minha resolução.
viniciusdosreis escreveu:b) Tem-se E=F+G se, e somente se,
Temos que provar que:
(i)
(ii)
Afirmação (i)Por hipótese, qualquer que seja a função
e em E teremos funções
f em F e
g em G tal que
e = f + g. Sendo assim, tomemos qualquer função
e em E tal que
, para todo x em
. Agora, suponha que
e tomemos um
k em
. Desse modo,
teríamos e(k)=f(k)+g(k)=0+0=0.
Mas, isso contraria a definição da função
e que escolhemos. Portanto, deve ocorrer
.
Afirmação (ii)Seja
e uma função qualquer em E. Podemos escrever
e como sendo:
Fazendo:
,
,
temos que
f está em F e
g está em G, de modo que
e=f+g. Como
e é qualquer, então temos que E=F+G.
Note que essas funções
f e
g só estão bem definidas devido a hipótese
. Sem essa hipótese, tanto a função
f quanto a função
g estaria mal definida, pois para qualquer elemento em
tanto
f quanto
g daria 0 e e(x) ao mesmo tempo, o que não pode ocorrer.
viniciusdosreis escreveu:c) Tem-se
se, e somente se,
Temos que provar que:
(i)
(ii)
Afirmação (i)Seja
e uma função em E definida por
. Sendo assim,
e está em
. Mas, por hipótese em
só temos o elemento neutro do espaço de funções E (isto é, a função n(x)=0, para qualquer x em
). Portanto,
e deve também ser o elemento neutro do espaço E. Mas, para que
e seja o elemento neutro desse espaço ele deve levar todos os valores de
em 0, o que só ocorre se
na definição de
e.
Afirmação (ii)Seja
e qualquer função em E tal que
e(x)=0 para qualquer elemento em
. Sendo assim,
e está em
. Além disso, como por hipótese
, então
e leva qualquer valor de
em 0. Portanto,
e só pode ser a função que é o elemento neutro do espaço de funções E (lembre-se que em qualquer espaço o elemento neutro é único). Logo, temos que
.
viniciusdosreis escreveu:d) Vale
se, e somente se,
.
Temos que provar que:
(i)
(ii)
Para resolver o quesito d), lembre-se que há um teorema que garante que se F e G são subespaços de um espaço E temos que:
Afirmação (i)Por hipótese,
. Portanto, sabemos pelo teorema citado acima que deve ocorrer que E = F + G e
. Usando os resultados dos quesitos (b) e (c), temos que
e
. Logo, temos que
.
Afirmação (ii)Por hipótese,
. Disso segue que
e
. Usando os resultados dos quesitos (b) e (c), temos que E = F + G e
. Logo, pelo teorema citado acima, temos que
.