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por **Jaison Werner** » Qua Jan 19, 2011 09:06

usando os simbolos pertence e não pertence complete os espaços:
$\sqrt[]{10}$ pertence aos Irracionais?

esta coorreto

por **Renato_RJ** » Qua Jan 19, 2011 10:51

Provavelmente sim, a não ser que dê uma dizima periódica muito grande....

por **VtinxD** » Qua Jan 19, 2011 14:52

Na verdade ele pertence,certamente, aos irracionais.
A prova é bem simples e através da redução ao absurdo,onde se assume que $\sqrt[]{10}\in Q$ e chega a uma contradição,chegando a conclusão de que ele só pode ser irracional:
Se $\sqrt[]{10}\in Q$ ,então:
Para

e

$\in Z$ e mdc(a;b)=1
$\sqrt[]{10}=\frac{a}{b}\Rightarrow {\sqrt[]{10}}^{2}={\frac{a}{b}}^{2}\Rightarrow 10=\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}\Rightarrow$ ${a}^{2}=10{b}^{2}$ .Que implica que ${a}^{2}$ é par e multiplo de 5, por consequência

também é par e multiplo de cinco,visto que

e

pertencem aos inteiros e

diferente de zero.Se

é par então pode ser represantado por

,logo:
${2c}^{2}=10{b}^{2}\Rightarrow\frac{2}{5}{c}^{2}={b}^{2}$ .Como

é multipo de 5 ,

também é , e como

também é inteiro,

é par que é um absurdo visto que mdc entre

e

é igual a 1.
Espero ter feito uma prova clara e ajudado a esclarecer ,adoraria outras sugestões de prova.
P.S.:Eu sei que é mais fácil com congruência modular.

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