Limites

por **ARCS** » Sex Jan 14, 2011 19:23

Não estou conseguindo sair da indeterminação. Estou multiplicando numerador e denominador por $\sqrt[]{7+\sqrt[3]{x}}+3. Usando a regra de l´Hopital encontrei como resposta 1/72. Como calcular esse limite sem usar a regra de L´Hopital? \lim_{x\rightarrow8}\frac{\sqrt[]{7+\sqrt[3]{x}}-3}{x-8}$

por **MarceloFantini** » Sáb Jan 15, 2011 20:11

Vou fazer as manipulações sem limite. Veja:

$f(x) = \frac{\sqrt{7+\sqrt[3]{x}} - 3}{x -8}$

Manipulando:

$\frac{ \sqrt{7+\sqrt[3]{x}} - 3}{x-8} \cdot \frac{ \sqrt{7+\sqrt[3]{x}} +3}{\sqrt{7+\sqrt[3]{x}} +3} = \frac{7+\sqrt[3]{x} -9}{(x-8)(\sqrt{7+\sqrt[3]{x}} +3)} = \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{(x-8)(\sqrt{7+\sqrt[3]{x}} +3)} \cdot \frac{ \sqrt[3]{x^2} + 2 \sqrt[3]{x} + 4}{ \sqrt[3]{x^2} + 2 \sqrt[3]{x} + 4} = \frac{x-8}{(x-8)(\sqrt{7+\sqrt[3]{x}} +3)( \sqrt[3]{x^2} + 2 \sqrt[3]{x} + 4)} = \frac{1}{(\sqrt{7+\sqrt[3]{x}} +3)( \sqrt[3]{x^2} + 2 \sqrt[3]{x} + 4)}$

Agora, com limite:

$\lim_{x \to 8} f(x) = \lim_{x \to 8} \frac{1}{(\sqrt{7+\sqrt[3]{x}} +3)( \sqrt[3]{x^2} + 2 \sqrt[3]{x} + 4)} = \frac{1}{(\sqrt{7+\sqrt[3]{8}} +3)( \sqrt[3]{8^2} + 2 \sqrt[3]{8} + 4)} = \frac{1}{(3+3)(4 + 4 + 4)} = \frac{1}{72}$

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