Dúvida em questão de função ímpar

por **iveli** » Sáb Jan 08, 2011 21:37

10) Suponha que f : ${\ IR \to IR }$ seja uma função ímpar (isto é, f(-x) = -f(x) e periódica, com período 10 (isto é f(x) = f(x+10)). O gráfico da função no intervalo [0,5] é apresentado abaixo.

a) Complete o gráfico, mostrando a função no intervalo [-10,10], e calcule o valor de f(99).

b) Dada as funções g(y) = y² - 4y e h(x) = g(f(x)), calcule h(3) e determine a expressão de h(x) para $2,5\leq x\leq 2,5$

A Resolução completa e o gráfico do exercício estão em:
http://www.comvest.unicamp.br/vest_anteriores/2011/download/comentadas/matematica.pdf
na página 22 (é o exercício 10)

Já olhei a resolução e não consegui entender nada. Obrigada desde já.

por **Renato_RJ** » Sáb Jan 08, 2011 22:46

Seguinte, a questão nada mais é do que descobrir o coeficiente angular da reta e levantar a equação do gráfico nos intervalos dados, vamos ver se consigo explicar.

Primeiramente, o enunciado nos diz que a função é cíclica com um período de 10, isto é, ela repete seus valores a cada 10 "passadas", então se ele deseja descobrir o valor de f(99)

basta-nos achar o valor de f(9)

pois 99 irá se repetir 9 vezes e terminar no valor 9 (pois 99 dividido por 10 dá 9 com resto 9). Sabendo disso, iremos calcular o valor de f(9)

, o que não é complicado, veja:

O valor x = 9

está entre 7,5 (cheguei a esse valor verificando que ele está exatamente na metade do intervalo 5 e 10, logo $\frac{15}{2} = 7,5$ ) e 10, os quais possuem as respectivas imagens f(7,5) = -5

e

, logo o que temos que fazer inicialmente é achar o coeficiente angular da reta, faremos isso dividindo a diferença entre as imagens pela diferença entre as coordenadas, conforme abaixo:

$\frac{f(10) - f(7,5)}{10 - 7,5}$

Logo, temos o valor do coeficiente angular daquela reta, vamos chamá-lo de

para facilitar. Agora vamos achar o valor de f(9)

, iremos fazer exatamente a mesma coisa, só que já sabemos que o coeficiente angular tem que ser igual a 2 (calculado anteriormente), então temos:

$2 = \frac{f(9) - f(7,5)}{9 - 7,5} \, \Rightarrow 3 = f(9) + 5 \, \Rightarrow f(9) = -2$

Sabendo disso, temos que $f(99) = f(9) \Rightarrow \, f(99) = -2$ .

A letra b, pode ser feita de maneira bem parecida, primeiro acharemos o coeficiente angular da reta que está no intervalo 2,5 e 5, que chamaremos de k.

$k = \frac {f(2,5) - f(5)}{2,5 - 5} \Rightarrow k = -2$

Utilizando do mesmo raciocínio, igualemos o coeficiente angular da reta a divisão entre a diferença de f(2,5)

e

e a diferença entre 2,5 e 3, conforme abaixo:

$k = -2 = \frac {f(2,5) - f(3)}{2,5 - 3} \, \Rightarrow -2 = 5 - f(3) \, \Rightarrow f(3) = 4$

Logo:

$g(y) = y^{2} - 4 \cdot y \Rightarrow g(4) = 4^{2} - 4 \cdot 4 \Rightarrow g(4) = 0$

Para acharmos a equação de h(x)

no intervalo [2.5,5]

temos que levantar a equação da reta entre os intervalos solicitados, já sabemos que o coeficiente angular é -2, então a equação da reta fica:

$f(x) = -2 \cdot x + c$

Para acharmos o valor de

, devemos igualar f(x)

a zero, isso ocorre quando x = 5

, logo:

$0 = -2 \cdot 5 + c \Rightarrow \, c = 10$

Então temos:

$y = -2\cdot x + 10$

Aplicando essa função na composta g(y)

teremos:

$g(y) = y^{2} - 4 \cdot y \Rightarrow g(y) = (10 - 2\cdot x)^{2} - 4 \cdot (10 - 2 \cdot x) \newline \Rightarrow g(y) = 4 \cdot x^{2} - 40 \cdot x + 100 + 8 \cdot x - 40 \Rightarrow g(y) = 4 \cdot x^{2} - 32 \cdot x + 60$
no intervalo [2.5,5]

Espero ter ajudado, qualquer dúvida, por favor poste.

Abraços,
Renato.

por **Renato_RJ** » Seg Jan 10, 2011 01:44

A resposta foi satisfatória ? Conseguiu entender o que eu escrevi ?

Grato,
Renato.

por **iveli** » Seg Jan 10, 2011 23:17

Desculpe por não ter responder antes.
Demorei para entender, mas enfim compreendi o raciocínio.

Apenas um erro, que não prejudicou a resposta:
$k = -2 = \frac{f(2,5) - f(3)}{2,5 - 3} \rightarrow 1 = 5 - f(3) \rightarrow f(3) = 4$

Muito obrigada pela ajuda!

por **Renato_RJ** » Seg Jan 10, 2011 23:27

iveli escreveu:Desculpe por não ter responder antes.
Demorei para entender, mas enfim compreendi o raciocínio.

Apenas um erro, que não prejudicou a resposta:
$k = -2 = \frac{f(2,5) - f(3)}{2,5 - 3} \rightarrow 1 = 5 - f(3) \rightarrow f(3) = 4$

Muito obrigada pela ajuda!

Sem problemas, valeu pela correção, na tarde da noite as vezes um número nos escapa.... rsss.....

Abraços e boa sorte nos estudos !!

Renato.

por **0 kelvin** » Ter Jan 11, 2011 21:04

Compare a resposta do exemplo acima da média com o abaixo da média da prova comentada. Eles pegaram aquelas duas para ilustrar exatamente que quem fica bitolado com substituição de f(x) para todo x real cai num beco sem saída e não entende a função. A interpretação por semelhança de triângulos do exemplo acima da média é bem prática.

por **Renato_RJ** » Ter Jan 11, 2011 21:19

Sim, bem prática mesmo (e até mais rápida)... Fora que o exemplo abaixo da média a pessoa simplesmente não entendeu o que seria uma função cíclica, daí o erro...

Abraços,
Renato.