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ORM - 2010

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A classificação destes desafios em fáceis, médios e difíceis, é apenas ilustrativa.
Eventualmente, o que pode ser difícil para a maioria, pode ser fácil para você e vice-versa.

ORM - 2010

Mensagempor Molina » Dom Abr 25, 2010 14:47

Essa semana vou dar o treinamento da Olimpíada Regional de Matemática e ontem fiquei fazendo algumas questões que serão usadas neste treinamento. Vou colocar aqui uma que aparentemente parecia a mais simples de todas, mas foi a que mas me fez perder tempo. Espero que vocês gostem e façam mais rápido do que eu :lol:

Na figura, as distâncias entre dois pontos horizontais consecutivos e as distâncias entre dois pontos verticais consecutivos são iguais a 1. A região comum ao triângulo e ao quadrado tem área:

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Re: ORM - 2010

Mensagempor Neperiano » Dom Abr 25, 2010 22:04

Ola

Eu naum vou responder, mas creio que para calcular a area do triangulo basta traçar outros triangulos ao lado, aonde há a linha reta para que possa saber o valor do lado, do quadrado é só multiplicar
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Re: ORM - 2010

Mensagempor Molina » Seg Abr 26, 2010 22:21

Maligno escreveu:Ola

Eu naum vou responder, mas creio que para calcular a area do triangulo basta traçar outros triangulos ao lado, aonde há a linha reta para que possa saber o valor do lado, do quadrado é só multiplicar

:n:

Vou dar as alternativas pra ajudar:

a) \frac{9}{10}

b) \frac{15}{16}

c) \frac{8}{9}

d) \frac{11}{12}

e) \frac{14}{15}
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Re: ORM - 2010

Mensagempor Douglasm » Ter Abr 27, 2010 13:39

Olá Molina! Bacana este problema. Eu encontrei a alternativa d) \frac{11}{12} usando geometria analítica. Veja só:

Primeiro defini um sistema cartesiano de origem (0,0) no ponto na extremidade inferior esquerda. A partir daí resolvi encontrar a equação de um reta que passar por (0,3) e (3,1) (reta essa, paralela ao lado maior do triângulo). Assim achei:

y - y_0 = m (x - x_0) , sendo m = - tg \alpha (reta decrescente e \alpha é o menor ângulo que a reta forma com a horizontal)

Deste modo:

y = - \frac{2}{3}x +3

Ok. Agora o que fiz foi encontrar a intersecção dessa reta com as retas x = 2 e y = 2 (paralelas aos lados direito e superior do quadrado, respectivamente.). Fazendo isso, podemos encontrar as medidas do pequeno triângulo que fica fora do triângulo que contém o quadrado:

1º - Intersecção entre y = - \frac{2}{3} x +3 e x = 2:

y = - \frac{2}{3}.2 + 3

y = \frac{5}{3}

O ponto de intersecção tem coordenadas (0,5/3) e o vértice coordenadas (0,2). É fácil notar que o primeiro lado do pequeno triângulo vale 1/3.

2º - Intersecção entre y = - \frac{2}{3}x + 3 e y = 2:

2 = - \frac{2}{3}x + 3

x = \frac{3}{2}

A distância desta intersecção ao vértice vale 1/2.

Agora é só subtraírmos da área do quadrado a área deste pequeno triângulo:

1^2 - \frac{\frac{1}{2} . \frac{1}{3}}{2} = \frac{11}{12} u.a.

Seria essa a resposta?

Até a próxima.

EDIT: Inverti as coordenadas, agora já está certo.
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Re: ORM - 2010

Mensagempor Molina » Ter Abr 27, 2010 15:12

Boa tarde, Douglas.

A resposta está certa sim. Gostei da forma que você resolveu.

Vou colocar aqui meu modo de solução (e modo da organização das olimpíadas):

É fácil perceber que o lado do triângulo intercepta a parte superior do quadrado no ponto médio deste segmento. Então a base do 'triângulo menor'* nós já temos, que é: b=\frac{1}{2}.

* Entende-se pela área do quadrado que é comum a área do triângulo.

Precisamos agora achar a altura deste triângulo menor, para calcular sua área e posteriormente retirar da área do quadrado. Para isso usaremos semelhança de triângulos.
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\frac{BN}{BE}=\frac{NM}{MP}

\frac{1}{BE}=\frac{3}{2}

\frac{1}{BE}=\frac{3}{2}

BE=\frac{2}{3}

O que nos garante que a altura do triângulo menor (que estávamos procurando a área) é \frac{1}{3}

Logo a área do triângulo menor é: A=\frac{b*h}{2} \Righttarrow A=\frac{1}{12}

A área total do quadrado é 1, logo a área comum as duas figuras é 1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}

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Re: ORM - 2010

Mensagempor Douglasm » Ter Abr 27, 2010 16:31

Olá Molina. Esse seu método é muito mais objetivo. Eu não tinha me tocado que podia afirmar que o lado de cima do triângulo menor era 1/2, assim seria bem mais rápido.

Até a próxima.
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Re: ORM - 2010

Mensagempor Molina » Ter Abr 27, 2010 18:04

Douglasm escreveu:Olá Molina. Esse seu método é muito mais objetivo. Eu não tinha me tocado que podia afirmar que o lado de cima do triângulo menor era 1/2, assim seria bem mais rápido.

Até a próxima.

Na verdade eu não afirmei. Pensa o seguinte:

G é ponto médio de PM

Com isso F é ponto médio de PN

H é ponto médio de MN e consequentemente ponto médio de AB.

Por isso AH = HB = DF = FC = 0,5.

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Re: ORM - 2010

Mensagempor Douglasm » Ter Abr 27, 2010 19:30

Exatamente =P. Só depois de ler como você fez é que pude notar isso. Sorte que temos a geometria analítica para nos garantir um resultado, mesmo que normalmente exija mais trabalho braçal! Espero por mais desafios (cheguei a tentar um pouco aquele dos dados, mas parece ser dureza...)

Até a próxima.
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Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 12:41

pessoal eu achei como resultado 180 toneladas,entretanto sei que a questão está erra pela lógica e a resposta correta segundo o gabarito é 1.800 toneladas.
me explique onde eu estou pecando na questão. resolva explicando.

78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: Douglasm - Qui Jul 01, 2010 13:16

Observe o raciocínio:

10 pessoas - 9 dias - 135 toneladas

1 pessoa - 9 dias - 13,5 toneladas

1 pessoa - 1 dia - 1,5 toneladas

40 pessoas - 1 dia - 60 toneladas

40 pessoas - 30 dias - 1800 toneladas


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:18

pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:21

leandro moraes escreveu:pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.

valeu meu camarada.