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por viniciusdosreis » Qua Fev 02, 2011 16:16
Boa tarde galera, sou novo aqui no fórum e gostaria de saber se poderiam me ajudar. Estou com dificuldades para fazer algumas demonstrações...
Dados X, Y
IR, sejam
F = conjunto das funções f: IR --> IR que se anulam em todos os pontos de X,
G = conjunto das funções g: IR --> IR que se anulam em todos os pontos de Y.
Prove:
a) F e G são subespaços vetoriais de E = f(IR;IR)
Sei que tenho que provar as 3 propriedades;
I)
; é claro que o conjunto F contem o elemento neutro, uma vez que para
II)
, sendo
e
A primeira esta correta?
Não estou conseguindo provar a segunda, pois não consegui visualizar essas funções, se alguém puder me dar uma idéia.
Agradeço.
Vinícius
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viniciusdosreis
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por LuizAquino » Qua Fev 02, 2011 17:32
No exercício, F é um conjunto de
funções, tal que se f é uma dessas funções então f(x)=0 para qualquer x em X. Só para exemplificar, a função
é uma delas.
Como você disse, para provar que F é subespaço de E, temos que provar 3 prorpriedades:
(i)
.
(ii) Se
, então
, sendo k um número real qualquer.
(iii) Se
e
, então
.
Vejamos a propriedade (i). Primeiro, note que esse "0" não é o número zero, mas sim o elemento neutro do espaço em questão. Como estamos no espaço de funções, esse elemento neutro deve ser também uma função. Então, a pergunta que você deve se fazer é: existe alguma função n em F tal que para qualquer função h em F teremos que
h+n=h? (Aqui vale outro lembrete. Esse "+" não é o símbolo de soma entre números que você está acostumado, mas sim o símbolo de soma para funções.)
Pois bem, a resposta para a pergunta é sim. Basta tomar a função
definida por n(x)=0. Note que essa função servirá como elemento neutro para a soma entre funções e além disso ela pertence a F, já que ela é zero para x em X (ora, se ela é zero para qualquer valor em
, é claro que ela será zero para um subconjunto X de
).
Agora, vamos para a propriedade (ii). Por hipótese, f pertence a F. Portanto, pela definição de F sabemos que f(x)=0 para qualquer x em X. Multiplicando ambos os membros dessa equação por k, obtemos kf(x)=0. Pela definição de produto de escalar por função temos que essa última equação é o mesmo que (kf)(x)=0. Ou seja, a função kf é tal que ela é zero para qualquer x em X. Portanto, kf pertence a F.
Por fim, vejamos a propriedades (iii). Por hipótese, f e g pertencem a F. Portanto, pela definição de F sabemos que f(x)=0 e g(x)=0 para qualquer x em X. Somando-se essas equações, obtemos f(x)+g(x)=0. Pela definição de soma entre funções, temos que essa última equação é o mesmo que (f+g)(x)=0. Ou seja, a função f+g é tal que ela é zero para qualquer x em X. Portanto, f+g pertence a F.
Logo, como (i), (ii) e (iii) são válidas, nós temos que F é subespaço de E.
A prova para G é análoga.
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LuizAquino
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por viniciusdosreis » Qui Fev 03, 2011 16:20
Ei Luiz, muito obrigado, ficou bem claro de visualizar com essa idéia.
Agora estou com um problema na letra C deste mesmo problema, se alguém puder me dar uma ajudinha...
Prove:
C) Tem-se
se, e somente se,
.
Sei que não posso ter um numero real que pertença tanto a X quanto a Y, mas não vejo diferença se ele não pertencer a nenhum dos dois conjuntos ao mesmo tempo. Algo relacionado com os subespaços F e G, ou com as funçoes, que deixei passar?
Na letra B consegui provar que
para que E=F+G, não sei se isso ajudaria.
Desde já, agradeço.
Abraços
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viniciusdosreis
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por LuizAquino » Qui Fev 03, 2011 17:27
Sei que não posso ter um numero real que pertença tanto a X quanto a Y, mas não vejo diferença se ele não pertencer a nenhum dos dois conjuntos ao mesmo tempo.
Não se pode afirmar isso. O enunciado da questão apenas diz que X e Y são subconjuntos de
. Imagine, por exemplo, que
e
. Temos X e Y subconjuntos de
e claramente há elementos em comum entre os dois conjuntos.
viniciusdosreis escreveu:Na letra B consegui provar que
para que E=F+G, não sei se isso ajudaria.
Por favor, coloque aqui o texto completo do quesito b) dessa questão, bem como a sua solução para ele.
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LuizAquino
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por viniciusdosreis » Qui Fev 03, 2011 20:25
Exercicio:
Dados X, Y
, sejam
F = conjunto das funções f: IR --> IR que se anulam em todos os pontos de X,
G = conjunto das funções g: IR --> IR que se anulam em todos os pontos de Y.
Prove:
a) F e G são subespaços vetoriais de E = f(IR;IR);
b) Tem-se E=F+G se, e somente se,
;
c) Tem-se
se, e somente se,
;
d) Vale
se, e somente se,
;
Resolucao:
b)
Mostraremos que
, sejam
,
e
, temos que e=f+g.
Como E, F e G sao espacos vetoriais e claro que
.
Temos ainda que
, ou seja,
e
. Para que
, suponhamos que exista um unico
e um unico
satisfazendo e=f+g.
Entao, somando e subtraindo 'e', temos e=f+g=(f+e)+(g-e), sendo
e
. Como temos um unico f e g satisfazendo e=f+g; entao f=f+e e g=g-e. Portanto e=0. Logo
.
Assim, o conjunto dos pontos, X e Y, que se anulam em F e G, respectivamente, apresentam
Quanto a letra c;
Sei que não posso ter um numero real que pertença tanto a X quanto a Y, mas não vejo diferença se ele não pertencer a nenhum dos dois conjuntos ao mesmo tempo.
Não se pode afirmar isso. O enunciado da questão apenas diz que X e Y são subconjuntos de . Imagine, por exemplo, que e . Temos X e Y subconjuntos de e claramente há elementos em comum entre os dois conjuntos.
Caso tenhamos um elemento em comum em X e Y, isso implicaria que
não tivesse apenas o zero. Correto? Ou estou confundindo?
Muito obrigado pela ajuda.
Abraços
-
viniciusdosreis
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por LuizAquino » Sex Fev 04, 2011 08:56
viniciusdosreis escreveu:Prove:
b) Tem-se E=F+G se, e somente se,
;
Resolucao:
b)
Mostraremos que
, sejam
,
e
, temos que e=f+g.
Como E, F e G sao espacos vetoriais e claro que
.
Temos ainda que
, ou seja,
e
. Para que
, suponhamos que exista um unico
e um unico
satisfazendo e=f+g.
Entao, somando e subtraindo 'e', temos e=f+g=(f+e)+(g-e), sendo
e
. Como temos um unico f e g satisfazendo e=f+g; entao f=f+e e g=g-e. Portanto e=0. Logo
.
Assim, o conjunto dos pontos, X e Y, que se anulam em F e G, respectivamente, apresentam
Para demonstrar b), você precisa demonstrar duas afirmações que:
(i)
(ii)
Você começou tentando provar (i). Entretanto, você fez a seguinte suposição: "suponhamos que exista um único
e um único
satisfazendo e=f+g". Mas, essa suposição só será válida se
, o que não faz parte de sua hipótese. A sua hipótese é que E=F+G. Vale lembrar que soma direta (denotada por
) e soma (denotada por +) são duas coisas distintas.
viniciusdosreis escreveu:Caso tenhamos um elemento em comum em X e Y, isso implicaria que
não tivesse apenas o zero. Correto? Ou estou confundindo?
Note que você está afirmando que:
Mas, essa afirmação não é dada no exercício. Portanto, você deve prová-la para poder usá-la (caso de fato seja verdadeira).
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LuizAquino
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por viniciusdosreis » Sex Fev 04, 2011 15:24
Exatamente ai que me perco. Não estou conseguindo associar F e G com X e Y. Seria X o domínio das funções em F onde f(x)=0? ou seja, as raízes? Como faria essa relação?
Grato.
-
viniciusdosreis
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por LuizAquino » Sex Fev 04, 2011 19:11
viniciusdosreis escreveu:Exatamente ai que me perco. Não estou conseguindo associar F e G com X e Y. Seria X o domínio das funções em F onde f(x)=0? ou seja, as raízes? Como faria essa relação?
Todas as funções em F (ou em G) vão de
em
. Portanto, o domínio e o contra-domínio de todas as funções em F (ou em G) é o conjunto
.
Entretanto, todas as funções em F possuem uma coisa em comum: toda função f em F é tal que f(k)=0, para todo k em X. Ou seja, qualquer elemento do conjunto X é associado ao 0. Em outras palavras, todo elemento do conjunto X é uma raiz para qualquer função em F. Vale destacar que nada impede que a função tenha raízes em elementos fora de X. Acredito que o diagrama abaixo ajuda a esclarecer as ideias.
- Diagrama
- diagrama.png (11.79 KiB) Exibido 4931 vezes
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LuizAquino
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por LuizAquino » Sáb Fev 05, 2011 19:22
Olá viniciusdosreis,
Como está na resolução da questão?
Segue abaixo a minha resolução.
viniciusdosreis escreveu:b) Tem-se E=F+G se, e somente se,
Temos que provar que:
(i)
(ii)
Afirmação (i)Por hipótese, qualquer que seja a função
e em E teremos funções
f em F e
g em G tal que
e = f + g. Sendo assim, tomemos qualquer função
e em E tal que
, para todo x em
. Agora, suponha que
e tomemos um
k em
. Desse modo,
teríamos e(k)=f(k)+g(k)=0+0=0.
Mas, isso contraria a definição da função
e que escolhemos. Portanto, deve ocorrer
.
Afirmação (ii)Seja
e uma função qualquer em E. Podemos escrever
e como sendo:
Fazendo:
,
,
temos que
f está em F e
g está em G, de modo que
e=f+g. Como
e é qualquer, então temos que E=F+G.
Note que essas funções
f e
g só estão bem definidas devido a hipótese
. Sem essa hipótese, tanto a função
f quanto a função
g estaria mal definida, pois para qualquer elemento em
tanto
f quanto
g daria 0 e e(x) ao mesmo tempo, o que não pode ocorrer.
viniciusdosreis escreveu:c) Tem-se
se, e somente se,
Temos que provar que:
(i)
(ii)
Afirmação (i)Seja
e uma função em E definida por
. Sendo assim,
e está em
. Mas, por hipótese em
só temos o elemento neutro do espaço de funções E (isto é, a função n(x)=0, para qualquer x em
). Portanto,
e deve também ser o elemento neutro do espaço E. Mas, para que
e seja o elemento neutro desse espaço ele deve levar todos os valores de
em 0, o que só ocorre se
na definição de
e.
Afirmação (ii)Seja
e qualquer função em E tal que
e(x)=0 para qualquer elemento em
. Sendo assim,
e está em
. Além disso, como por hipótese
, então
e leva qualquer valor de
em 0. Portanto,
e só pode ser a função que é o elemento neutro do espaço de funções E (lembre-se que em qualquer espaço o elemento neutro é único). Logo, temos que
.
viniciusdosreis escreveu:d) Vale
se, e somente se,
.
Temos que provar que:
(i)
(ii)
Para resolver o quesito d), lembre-se que há um teorema que garante que se F e G são subespaços de um espaço E temos que:
Afirmação (i)Por hipótese,
. Portanto, sabemos pelo teorema citado acima que deve ocorrer que E = F + G e
. Usando os resultados dos quesitos (b) e (c), temos que
e
. Logo, temos que
.
Afirmação (ii)Por hipótese,
. Disso segue que
e
. Usando os resultados dos quesitos (b) e (c), temos que E = F + G e
. Logo, pelo teorema citado acima, temos que
.
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silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46
Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25
POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?
P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50
P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25
P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833
4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3
SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37
utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24
Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.
Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45
Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23
Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18
Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40
Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias
44242:7 = 6320 + resto 2
è assim, nâo sei mais sair disso.
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24
que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43
Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:
De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.
De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.
De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.
Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.
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