[Geometria analítica - Espaços Euclidianos] Ajuda por favor!

por **crsjcarlos** » Seg Jun 10, 2013 14:42

Determine $\lambda \in \Re$ para que o seguinte subespaço de $\Re^3$ tenha dimensão 1.

$W = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \in \Re^3 : \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ \lambda & 2 & -2 \\ -2 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} para algum vetor \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

por **MateusL** » Qui Jul 18, 2013 00:14

Como o subespaço tem dimensão 1, então $a,\ b,\ c$ são três vetores colineares.
Então

e

são múltiplos de

.

Vamos dizer que:

$b=\alpha a$
$c=\beta a$

Então:

$\begin{cases} 2x-y+z=a\\ \lambda x+2y-2z=\alpha a\\ -2x+y-z=\beta a\end{cases}$

Multiplicando a primeira linha por $\alpha$ e subtraindo a primeira da segunda obteremos:

$(\lambda-2\alpha) x+(2+\alpha) y+(-2-\alpha) z=0$

Como podemos ter qualquer valor para $x,\ y$ e

, para que a equação acima seja verdadeira devemos ter:

$\lambda-2\alpha=2+\alpha=-2-\alpha=0$

De onde encontramos $\alpha=-2$ e, finalmente, $\lambda=-4$ .

Apesar de não vir ao caso, é fácil ver que $\beta=-1$ .

Abraço!

EDITADO: Vi a resolução abaixo e me dei conta que havia errado ao escrever o valor de $\lambda$ . Agora o valor está certo!

por **e8group** » Qui Jul 18, 2013 21:21

Outra forma que pensei ...

Chamando de

a matriz que está multiplicando a matriz coluna $\begin{pmatrix} a \\ b\\ c \end{pmatrix}$ . Observando que a última linha da matriz

é múltipla da primeira ,segue $det(A) = 0 \implies A$ é singular $\implies AX = Y$ é um sistema compatível e indeterminado .Em particular , se $Y = O_{w} = (0, 0,0)^t$ , então o sistema linear homogêneo AX = O_w

admite outras soluções além da trivial (1) . Agora , seja $u \in W$ .Então ,

$u =(2x-y + z , \lambda x +2y - 2z , -2x +y - z )$ . Por outro lado ,

$(2x-y + z , \lambda x +2y - 2z , -2x +y - z ) = x (2e_1 + \lambda e_2 - 2e_3) + y(-e_1 + 2e_2 +e_3 ) + z(e_1 - 2e_2 -e_3) = u$ .

Definindo $M:=\{(2,\lambda,-2) ,(-1,2,1),(1,-2,-1)\}$ , por (1) $M \hspace{5mm} L.D. \implies (2,\lambda,-2) = \alpha(-1,2,1) + \beta (1,-2,-1)$ ,daí resulta $\lambda = - 4$ .