[Aplicacoes] a juros compostos

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[Aplicacoes] a juros compostos

Mensagempor Carlos Robert » Qua Nov 09, 2011 09:03

A resolucao do seguinte exercício:
Resolve-se fazer uma aplicacao a juros compostos hoje,para daqui a 8 meses retire R$ 1500,00
e R$ 3500,00 ao fim de um ano.Quanto deve-se investir então hoje, sabendo que o banco oferece uma taxa de 10%ao ano?
A resolução seria por meio da expressão?
V= 1500,00/(1+0,10)8+ 3500,00/(1+0,10)12
Como resolvê-la?
obrigado
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Re: [Aplicacoes] a juros compostos

Mensagempor MarceloFantini » Qua Nov 09, 2011 21:39

Seja i a taxa ao mês. Sabemos que i^{12} = 1,1 pelo enunciado. Seja C_0 a quantidade inicial de dinheiro. Sabemos que após 8 meses, ele se tornará C_1 = C_0 \cdot i^8. Daí, retiramos 1500 reais. Passados mais quatro meses, completando um ano, retiramos os 3500 faltantes, logo: 3500 = (C_1 -1500)i^4. Substituindo a primeira na segunda, teremos 3500 = (C_0 \cdot i^8 - 1500)i^4 = C_0 \cdot i^{12} -1500i^4, de onde concluímos que C_0 = \frac{3500 +1500 \cdot i^4}{i^{12}} \approx 4590 reais.
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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