Retomando o raciocínio da minha intervenção anterior e, corrigindo alguns equívocos temos o seguinte:
(1) A propriedade Arquimediana diz que dados
tais que
então existe algum
tal que
.
(2) Da hipótese do enunciado temos
. Vamos supor então que
e portanto
.
(3) Aplicando a Arquimediana em (2) pode-se, então, afirmar que existe algum
tal que
.
(4) Como
então
também, chamemos esse produto de
.
(5) Assim, chegamos a uma contradição:
e
. Ambos
e
naturais quaisquer contrariando a hipótese dada no enunciado original e a nossa suposição de que
.
(6) Portanto, só resta aceitar que
.
Aliás, há outra forma de forma provar isso. Antes teríamos que provar que o ínfimo do conjunto {
} é igual a 0 (usando a Arquimediana). E daí usaríamos limites, mas aí estaríamos usando outros recursos além da Arquimediana.
Demorou mas fechou.