PG: Proliferação de bactérias

por **Celma** » Seg Jul 15, 2013 22:42

Boa noite!

Eu não consigo entender como é possível calcular o tempo se, em ambos os casos, o tempo já foi informado.

A partir de um valor inicial igual a 16000, certa população P1 de bactérias dobra a cada 30 minutos. Simultaneamente, partindo de um valor inicial 8 vezes menor, outra população P2 de bactérias cresce, dobrando de valor a cada 15 minutos. Em qual instante t as duas populações terão o mesmo valor?

P1 = P2

$16000 * {2}^{30} = 2000 * {2}^{15}$

Muito obrigada!

por **Russman** » Seg Jul 15, 2013 23:55

A população P_1(t)

é função do tempo com período

, que no caso é de 30 min. O mesmo acontece para a população P_2(t)

que também é função do tempo com período T=15 min

. As equações que regem o crescimento das populações são

$\left\{\begin{matrix} P_{1}\left ( \frac{t}{30}+1 \right ) = 2 P_{1}\left ( \frac{t}{30} \right )\\ P_{2}\left ( \frac{t}{15}+1 \right ) = 2 P_{1}\left ( \frac{t}{15} \right ) \end{matrix}\right.$

cuja solução é, identificando a equação de progressões geométricas,

$\left\{\begin{matrix} P_{1}\left ( t \right ) = P_{1} \left ( 0 \right )2^{\frac{t}{30}}\\ P_{2}\left ( t \right ) = P_{2} \left ( 0 \right )2^{\frac{t}{15}} \end{matrix}\right.$

O problema informa que $P_{2}\left ( 0 \right )= \frac{1}{8}P_{1} \left ( 0 \right ) = \frac{1}{2^{3}}P_{1} \left ( 0 \right )$ de modo que

$\left\{\begin{matrix} P_{1}\left ( t \right ) = P_{1} \left ( 0 \right )2^{\frac{t}{30}}\\ P_{2}\left ( t \right ) = P_{1} \left ( 0 \right )2^{\left (\frac{t}{15}-3 \right )} \end{matrix}\right.$

e ainda pede em que instante as populações terão o mesmo valor. Para isto temos de calcular para qual

que

$P_{1}\left ( t \right ) = P_{2}\left ( t \right )$ .

Facilmente simplificamos o problema para

$2^{\frac{t}{30}} = 2^{\left (\frac{t}{15}-3 \right )}$ .

Ou seja, quando

$\frac{t}{30} = \frac{t}{15}-3 \Rightarrow t=2t-90 \Rightarrow t=90 min$

ou seja, após decorridos 90 minutos de crescimento ambas populações terão o mesmo número de indivíduos.

PG: Proliferação de bactérias

PG: Proliferação de bactérias

PG: Proliferação de bactérias

Re: PG: Proliferação de bactérias

Quem está online