Integral, como resolver??

por **manuoliveira** » Qua Out 17, 2012 21:40

Estou estudando integrais por frações parciais mas travei na seguinte:

$\int_{}^{}\frac{(5x + 4)}{(x^2 + 3x + 1)} dx$

Tenho prova semana que vem então agradeço mesmo quem puder ajudar!! Obrigada desde já

por **MarceloFantini** » Qua Out 17, 2012 22:43

Segundo o Wolfram Alpha, a expansão em frações parciais será

$\frac{5x+4}{x^2 +3x +1} = \frac{7 + 5 \sqrt{5}}{\sqrt{5} (2x + \sqrt{5} + 3)} + \frac{7 - 5 \sqrt{5}}{\sqrt{5} (-2x + \sqrt{5} - 3)}$ .

Agora basta integrar.

por **e8group** » Qui Out 18, 2012 11:10

Visto que ,

$\frac{5x+4}{x^2 +3x +1} = \frac{7 +5\sqrt{5}}{\sqrt{5}(2x+\sqrt{5}+3)} +\frac{7-5\sqrt{5}}{\sqrt{5}(-2x+\sqrt{5}-3)} = \frac{1}{5}\left(\frac{7\sqrt{5} +25}{2x+\sqrt{5}+3} +\frac{7\sqrt{5} -25}{-2x+\sqrt{5}-3)}\right)$ .

Temos que ,

$\int \frac{5x+4}{x^2 +3x +1} dx = \int \frac{1}{5}\left(\frac{7\sqrt{5} +25}{2x+\sqrt{5}+3} +\frac{7\sqrt{5} -25}{-2x+\sqrt{5}-3)}\right) dx$ .

Escrevendo esta integral indefinida (antiderivada) como ,

$\frac{1}{5}\left( (7\sqrt{5}+25)\int\frac{dx}{2x+\sqrt{5}+3}+(7\sqrt{5}-25)\int\frac{dx}{-2x+\sqrt{5}-3}\right ) .$

Integrando cada termo ,obtemos que :

$\int \frac{5x+4}{x^2 +3x +1} dx = \\ \\ \frac{1}{5} \left((7\sqrt{5}+25)2^{-1}ln(2x+\sqrt{5}+3) +(7\sqrt{5}-25)2^{-1}ln(-2x+\sqrt{5}-3) \right) + C = \\ \\ \frac{(7\sqrt{5}+25)ln(2x+\sqrt{5}+3) +(-7\sqrt{5}+25)ln(-2x+\sqrt{5}-3)}{10} + C$

OBS.: Se eu errei alguma "passagem " (ainda não vi este conteúdo ,resolvir por curiosidade),post aí por favor .

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