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Integral, como resolver??

Integral, como resolver??

Mensagempor manuoliveira » Qua Out 17, 2012 21:40

Estou estudando integrais por frações parciais mas travei na seguinte:

\int_{}^{}\frac{(5x + 4)}{(x^2 + 3x + 1)} dx

Tenho prova semana que vem então agradeço mesmo quem puder ajudar!! Obrigada desde já
manuoliveira
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Re: Integral, como resolver??

Mensagempor MarceloFantini » Qua Out 17, 2012 22:43

Segundo o Wolfram Alpha, a expansão em frações parciais será

\frac{5x+4}{x^2 +3x +1} = \frac{7 + 5 \sqrt{5}}{\sqrt{5} (2x + \sqrt{5} + 3)} + \frac{7 - 5 \sqrt{5}}{\sqrt{5} (-2x + \sqrt{5} - 3)}.

Agora basta integrar.
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e^{\pi \cdot i} +1 = 0
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Re: Integral, como resolver??

Mensagempor e8group » Qui Out 18, 2012 11:10

Visto que ,


\frac{5x+4}{x^2 +3x +1}  = \frac{7 +5\sqrt{5}}{\sqrt{5}(2x+\sqrt{5}+3)} +\frac{7-5\sqrt{5}}{\sqrt{5}(-2x+\sqrt{5}-3)}  = \frac{1}{5}\left(\frac{7\sqrt{5} +25}{2x+\sqrt{5}+3} +\frac{7\sqrt{5} -25}{-2x+\sqrt{5}-3)}\right) .


Temos que ,



\int \frac{5x+4}{x^2 +3x +1} dx  = \int \frac{1}{5}\left(\frac{7\sqrt{5} +25}{2x+\sqrt{5}+3} +\frac{7\sqrt{5} -25}{-2x+\sqrt{5}-3)}\right) dx .


Escrevendo esta integral indefinida (antiderivada) como ,


\frac{1}{5}\left( (7\sqrt{5}+25)\int\frac{dx}{2x+\sqrt{5}+3}+(7\sqrt{5}-25)\int\frac{dx}{-2x+\sqrt{5}-3}\right )  .


Integrando cada termo ,obtemos que :

\int \frac{5x+4}{x^2 +3x +1} dx  =  \\ \\ \frac{1}{5} \left((7\sqrt{5}+25)2^{-1}ln(2x+\sqrt{5}+3) +(7\sqrt{5}-25)2^{-1}ln(-2x+\sqrt{5}-3) \right)  + C   =  \\ \\   \frac{(7\sqrt{5}+25)ln(2x+\sqrt{5}+3) +(-7\sqrt{5}+25)ln(-2x+\sqrt{5}-3)}{10} + C




OBS.: Se eu errei alguma "passagem " (ainda não vi este conteúdo ,resolvir por curiosidade),post aí por favor .
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Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: zig - Sex Set 23, 2011 13:57

{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: Vennom - Sex Set 23, 2011 21:41

zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:23

Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.