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[Dúvida]Integral

[Dúvida]Integral

Mensagempor Jhonata » Sex Jun 15, 2012 21:17

Bem, estou com dificuldade nessa questão:
Calcule a Integral: \int_{} \frac{dx}{x^2+2x+5}. Eu tentei resolver com alguns metódos que já conheço, mas nenhuma está igual ao gabarito (que é: \frac{1}{2}arctg\left(\frac{x+1}{2} \right)+c).

Eu fui pedir ajuda ao meu professor, mas ele disse que é muito fácil e não iria resolver, então apenas me sugeriu que eu "completasse" os quadrados do denominador e depois aplicasse uma substituição simples para resolvê-la. Até aí tudo bem, mas eu não sei como "completar quadrados". Existe algum algoritmo, macete, ou qualquer coisa do gênero pra lidar com isso? Se alguém puder me ajudar, desde já, grato.
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Re: [Dúvida]Integral

Mensagempor DanielFerreira » Sex Jun 15, 2012 21:37

Jhonata,
boa noite!
Fiz pela dica dada, mas acho que não sai pela substituição simples e sim substituição trigonométrica.
Editado pela última vez por DanielFerreira em Sex Jun 15, 2012 22:16, em um total de 1 vez.
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Re: [Dúvida]Integral

Mensagempor DanielFerreira » Sex Jun 15, 2012 22:15

Tenho dificuldades em decorar fórmulas, por isso...
x^2 + 2x + 5 ==> x^2 + 2x + 1 + 4 ==> (x + 1)^2 + 4

Considere x + 1 = \gamma, com isso d\gamma = dx:

\int_{}^{}\frac{dx}{x^2 + 2x + 5} = \int_{}^{}\frac{dx}{(x + 1)^2 + 4} = \int_{}^{}\frac{d\gamma}{\gamma^2 + 4}

Desenhe um triângulo reto em B, faça:
BÃC = \theta

AB = 2

BC = \gamma, então:

AC = \sqrt[]{\gamma^2 + 4}

Calculando a tangente:
tg \theta = \frac{\gamma}{2} ==> \theta = arctg \frac{\gamma}{2}

\gamma = 2 tg\theta

Derivando \gamma...
d\gamma = \frac{2 d\theta}{cos^2\theta}

Fazendo a substituição:
\gamma^2 + 4 ==> 4tg^2\theta + 4 ==> \frac{4}{cos^2\theta}

Agora podemos continuar a integral:
\int_{}^{}\frac{d\gamma}{\gamma^2 + 4} =

\int_{}^{}\frac{\frac{2d\theta}{cos^2\theta}}{\frac{4}{cos^2\theta}} =

\int_{}^{}\frac{2d\theta}{4} =

\left[\frac{\theta}{2} \right] =

\left[\frac{arctg\left(\frac{\gamma}{2} \right)}{2} \right]

\frac{1}{2} . arctg\left(\frac{x + 1}{2} \right) + c

Espero ter ajudado!!
Editado pela última vez por DanielFerreira em Sex Jun 15, 2012 23:30, em um total de 1 vez.
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Re: [Dúvida]Integral

Mensagempor Jhonata » Sex Jun 15, 2012 22:23

danjr5 escreveu:Jhonata,
boa noite!
Fiz pela dica dada, mas acho que não sai pela substituição simples e sim substituição trigonométrica.


Boa noite danjr.
Você solucionou meu problema com a Integral. Mas como eu faço pra completar os quadrados? No caso, se eu encontrar outro problema do tipo, eu não saberia como fazer.
E olhando seu desenvolvimento, quando você completou os quadrados, eu entendi porque dá pra fazer com uma substituição simples, ao invés de fazer por substituição trigonométrica;
bastava fazer u=x+1 e du=dx
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Re: [Dúvida]Integral

Mensagempor DanielFerreira » Sex Jun 15, 2012 23:35

Boa noite!
Jhonata escreveu:Boa noite danjr.
(...) E olhando seu desenvolvimento, quando você completou os quadrados, eu entendi porque dá pra fazer com uma substituição simples, ao invés de fazer por substituição trigonométrica;
bastava fazer u=x+1 e du=dx

Não consegui visualizar! Poderia mostrar os cálculos??
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Re: [Dúvida]Integral

Mensagempor Jhonata » Sáb Jun 16, 2012 02:01

danjr5 escreveu:Boa noite!
Jhonata escreveu:Boa noite danjr.
(...) E olhando seu desenvolvimento, quando você completou os quadrados, eu entendi porque dá pra fazer com uma substituição simples, ao invés de fazer por substituição trigonométrica;
bastava fazer u=x+1 e du=dx

Não consegui visualizar! Poderia mostrar os cálculos??


Certamente.
Se substituirmos u=x+1 com du=dx, temos:
\int_{}^{}\frac{du}{\left(u \right^2+2^2)}=\frac{1}{2}arctg\left(\frac{u}{2} \right)+c=\frac{1}{2}arctg\left(\frac{x+1}{2} \right)+c
Achei bem mais fácil do que fazer por substituição trigonométrica.
Mas minha dúvida principal na questão é como completar quadrados.

Obrigado pela atenção.
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Re: [Dúvida]Integral

Mensagempor e8group » Sáb Jun 16, 2012 12:09

Jhonata escreveu:Achei bem mais fácil do que fazer por substituição trigonométrica.
Mas minha dúvida principal na questão é como completar quadrados


Bom dia Jhonata ,ainda não aprendi a integrar .Mas em relação a completar quadrados ,note que o mesmo é obtido por uma manipulação algebrica .por exemplo : seja f definida por f(x) de tal modo que f(x)= ax^2+bx +c  ;(   a,b , c ) \neq 0 .

Note se quisermos encontrar o valor de x para o qual f(x) equivale a zero ,temos :


ax^2+bx +c = 0 . Fazendo uma manipulação algebrica ,obtemos que ( ax)^2+abx + \frac{b^2}{4}  = \frac{b^2}{4} -ca .Observe que somamos e multiplicamos ambos membros da igualdade por ( \frac{b^2}{4} ; a) .

assim ,

4(ax+ \frac{b}{2})^2 = b^2 -4ac .

Como exercício para você praticar ,mostre quex_1 = \frac{-b -\sqrt (b^2 -4ac )}{2a} e x_2 =  \frac{-b +\sqrt (b^2 -4ac )}{2a} . sendo a,b e c \neq 0 .

OBS.: Neste link(http://www.youtube.com/watch?v=n_M5upL0U1Y) há uma video aula a respeito deste assunto .

Espero ter ajudado .

abraços .
e8group
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Re: [Dúvida]Integral

Mensagempor Jhonata » Sáb Jun 16, 2012 12:53

santhiago escreveu:
Jhonata escreveu:Achei bem mais fácil do que fazer por substituição trigonométrica.
Mas minha dúvida principal na questão é como completar quadrados


Bom dia Jhonata ,ainda não aprendi a integrar .Mas em relação a completar quadrados ,note que o mesmo é obtido por uma manipulação algebrica .por exemplo : seja f definida por f(x) de tal modo que f(x)= ax^2+bx +c  ;(   a,b , c ) \neq 0 .

Note se quisermos encontrar o valor de x para o qual f(x) equivale a zero ,temos :


ax^2+bx +c = 0 . Fazendo uma manipulação algebrica ,obtemos que ( ax)^2+abx + \frac{b^2}{4}  = \frac{b^2}{4} -ca .Observe que somamos e multiplicamos ambos membros da igualdade por ( \frac{b^2}{4} ; a) .

assim ,

4(ax+ \frac{b}{2})^2 = b^2 -4ac .

Como exercício para você praticar ,mostre quex_1 = \frac{-b -\sqrt (b^2 -4ac )}{2a} e x_2 =  \frac{-b +\sqrt (b^2 -4ac )}{2a} . sendo a,b e c \neq 0 .

OBS.: Neste link(http://www.youtube.com/watch?v=n_M5upL0U1Y) há uma video aula a respeito deste assunto .

Espero ter ajudado .

abraços .


Muito obrigado Santhiago. Foi esclarecedor e como eu já havia previsto, não há um algoritmo menos complexo, mas o que você fez deu pra entender muito bem. Parece que pra lidar com isso mesmo, terei de perder um tempo exercitando tal. Vou dar uma olhada no vídeo e muito obrigado pela sua grande ajuda e atenção.
Abraços.
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Re: [Dúvida]Integral

Mensagempor cferreira264 » Seg Jul 03, 2017 13:10

Usando a técnica de completar quadrados, como ficaria a equação t^2+\frac{3}{2}t-2=0 ?
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Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46

Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25

POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?

P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50

P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25


P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833


4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3

SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37

utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24

Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.

Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45

Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23

Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18

Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40

Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias

44242:7 = 6320 + resto 2

è assim, nâo sei mais sair disso.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24

que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43

Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:


De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.

De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.

De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.

Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.