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[Dúvida]Integral

[Dúvida]Integral

Mensagempor Jhonata » Sex Jun 15, 2012 21:17

Bem, estou com dificuldade nessa questão:
Calcule a Integral: \int_{} \frac{dx}{x^2+2x+5}. Eu tentei resolver com alguns metódos que já conheço, mas nenhuma está igual ao gabarito (que é: \frac{1}{2}arctg\left(\frac{x+1}{2} \right)+c).

Eu fui pedir ajuda ao meu professor, mas ele disse que é muito fácil e não iria resolver, então apenas me sugeriu que eu "completasse" os quadrados do denominador e depois aplicasse uma substituição simples para resolvê-la. Até aí tudo bem, mas eu não sei como "completar quadrados". Existe algum algoritmo, macete, ou qualquer coisa do gênero pra lidar com isso? Se alguém puder me ajudar, desde já, grato.
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Re: [Dúvida]Integral

Mensagempor DanielFerreira » Sex Jun 15, 2012 21:37

Jhonata,
boa noite!
Fiz pela dica dada, mas acho que não sai pela substituição simples e sim substituição trigonométrica.
Editado pela última vez por DanielFerreira em Sex Jun 15, 2012 22:16, em um total de 1 vez.
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Re: [Dúvida]Integral

Mensagempor DanielFerreira » Sex Jun 15, 2012 22:15

Tenho dificuldades em decorar fórmulas, por isso...
x^2 + 2x + 5 ==> x^2 + 2x + 1 + 4 ==> (x + 1)^2 + 4

Considere x + 1 = \gamma, com isso d\gamma = dx:

\int_{}^{}\frac{dx}{x^2 + 2x + 5} = \int_{}^{}\frac{dx}{(x + 1)^2 + 4} = \int_{}^{}\frac{d\gamma}{\gamma^2 + 4}

Desenhe um triângulo reto em B, faça:
BÃC = \theta

AB = 2

BC = \gamma, então:

AC = \sqrt[]{\gamma^2 + 4}

Calculando a tangente:
tg \theta = \frac{\gamma}{2} ==> \theta = arctg \frac{\gamma}{2}

\gamma = 2 tg\theta

Derivando \gamma...
d\gamma = \frac{2 d\theta}{cos^2\theta}

Fazendo a substituição:
\gamma^2 + 4 ==> 4tg^2\theta + 4 ==> \frac{4}{cos^2\theta}

Agora podemos continuar a integral:
\int_{}^{}\frac{d\gamma}{\gamma^2 + 4} =

\int_{}^{}\frac{\frac{2d\theta}{cos^2\theta}}{\frac{4}{cos^2\theta}} =

\int_{}^{}\frac{2d\theta}{4} =

\left[\frac{\theta}{2} \right] =

\left[\frac{arctg\left(\frac{\gamma}{2} \right)}{2} \right]

\frac{1}{2} . arctg\left(\frac{x + 1}{2} \right) + c

Espero ter ajudado!!
Editado pela última vez por DanielFerreira em Sex Jun 15, 2012 23:30, em um total de 1 vez.
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Re: [Dúvida]Integral

Mensagempor Jhonata » Sex Jun 15, 2012 22:23

danjr5 escreveu:Jhonata,
boa noite!
Fiz pela dica dada, mas acho que não sai pela substituição simples e sim substituição trigonométrica.


Boa noite danjr.
Você solucionou meu problema com a Integral. Mas como eu faço pra completar os quadrados? No caso, se eu encontrar outro problema do tipo, eu não saberia como fazer.
E olhando seu desenvolvimento, quando você completou os quadrados, eu entendi porque dá pra fazer com uma substituição simples, ao invés de fazer por substituição trigonométrica;
bastava fazer u=x+1 e du=dx
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Re: [Dúvida]Integral

Mensagempor DanielFerreira » Sex Jun 15, 2012 23:35

Boa noite!
Jhonata escreveu:Boa noite danjr.
(...) E olhando seu desenvolvimento, quando você completou os quadrados, eu entendi porque dá pra fazer com uma substituição simples, ao invés de fazer por substituição trigonométrica;
bastava fazer u=x+1 e du=dx

Não consegui visualizar! Poderia mostrar os cálculos??
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Re: [Dúvida]Integral

Mensagempor Jhonata » Sáb Jun 16, 2012 02:01

danjr5 escreveu:Boa noite!
Jhonata escreveu:Boa noite danjr.
(...) E olhando seu desenvolvimento, quando você completou os quadrados, eu entendi porque dá pra fazer com uma substituição simples, ao invés de fazer por substituição trigonométrica;
bastava fazer u=x+1 e du=dx

Não consegui visualizar! Poderia mostrar os cálculos??


Certamente.
Se substituirmos u=x+1 com du=dx, temos:
\int_{}^{}\frac{du}{\left(u \right^2+2^2)}=\frac{1}{2}arctg\left(\frac{u}{2} \right)+c=\frac{1}{2}arctg\left(\frac{x+1}{2} \right)+c
Achei bem mais fácil do que fazer por substituição trigonométrica.
Mas minha dúvida principal na questão é como completar quadrados.

Obrigado pela atenção.
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Re: [Dúvida]Integral

Mensagempor e8group » Sáb Jun 16, 2012 12:09

Jhonata escreveu:Achei bem mais fácil do que fazer por substituição trigonométrica.
Mas minha dúvida principal na questão é como completar quadrados


Bom dia Jhonata ,ainda não aprendi a integrar .Mas em relação a completar quadrados ,note que o mesmo é obtido por uma manipulação algebrica .por exemplo : seja f definida por f(x) de tal modo que f(x)= ax^2+bx +c  ;(   a,b , c ) \neq 0 .

Note se quisermos encontrar o valor de x para o qual f(x) equivale a zero ,temos :


ax^2+bx +c = 0 . Fazendo uma manipulação algebrica ,obtemos que ( ax)^2+abx + \frac{b^2}{4}  = \frac{b^2}{4} -ca .Observe que somamos e multiplicamos ambos membros da igualdade por ( \frac{b^2}{4} ; a) .

assim ,

4(ax+ \frac{b}{2})^2 = b^2 -4ac .

Como exercício para você praticar ,mostre quex_1 = \frac{-b -\sqrt (b^2 -4ac )}{2a} e x_2 =  \frac{-b +\sqrt (b^2 -4ac )}{2a} . sendo a,b e c \neq 0 .

OBS.: Neste link(http://www.youtube.com/watch?v=n_M5upL0U1Y) há uma video aula a respeito deste assunto .

Espero ter ajudado .

abraços .
e8group
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Re: [Dúvida]Integral

Mensagempor Jhonata » Sáb Jun 16, 2012 12:53

santhiago escreveu:
Jhonata escreveu:Achei bem mais fácil do que fazer por substituição trigonométrica.
Mas minha dúvida principal na questão é como completar quadrados


Bom dia Jhonata ,ainda não aprendi a integrar .Mas em relação a completar quadrados ,note que o mesmo é obtido por uma manipulação algebrica .por exemplo : seja f definida por f(x) de tal modo que f(x)= ax^2+bx +c  ;(   a,b , c ) \neq 0 .

Note se quisermos encontrar o valor de x para o qual f(x) equivale a zero ,temos :


ax^2+bx +c = 0 . Fazendo uma manipulação algebrica ,obtemos que ( ax)^2+abx + \frac{b^2}{4}  = \frac{b^2}{4} -ca .Observe que somamos e multiplicamos ambos membros da igualdade por ( \frac{b^2}{4} ; a) .

assim ,

4(ax+ \frac{b}{2})^2 = b^2 -4ac .

Como exercício para você praticar ,mostre quex_1 = \frac{-b -\sqrt (b^2 -4ac )}{2a} e x_2 =  \frac{-b +\sqrt (b^2 -4ac )}{2a} . sendo a,b e c \neq 0 .

OBS.: Neste link(http://www.youtube.com/watch?v=n_M5upL0U1Y) há uma video aula a respeito deste assunto .

Espero ter ajudado .

abraços .


Muito obrigado Santhiago. Foi esclarecedor e como eu já havia previsto, não há um algoritmo menos complexo, mas o que você fez deu pra entender muito bem. Parece que pra lidar com isso mesmo, terei de perder um tempo exercitando tal. Vou dar uma olhada no vídeo e muito obrigado pela sua grande ajuda e atenção.
Abraços.
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Re: [Dúvida]Integral

Mensagempor cferreira264 » Seg Jul 03, 2017 13:10

Usando a técnica de completar quadrados, como ficaria a equação t^2+\frac{3}{2}t-2=0 ?
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Assunto: [calculo] derivada
Autor: beel - Seg Out 24, 2011 16:59

Para derivar a função

(16-2x)(21-x).x

como é melhor fazer?
derivar primeiro sei la, ((16-2x)(21-x))' achar o resultado (y)
e depois achar (y.x)' ?


Assunto: [calculo] derivada
Autor: MarceloFantini - Seg Out 24, 2011 17:15

Você poderia fazer a distributiva e derivar como um polinômio comum.


Assunto: [calculo] derivada
Autor: wellersonobelix - Dom Mai 31, 2015 17:26

Funciona da mesma forma que derivada de x.y.z, ou seja, x'.y.z+x.y'.z+x.y.z' substitui cada expressão pelas variáveis e x',y' e z' é derivada de cada um


Assunto: [calculo] derivada
Autor: wellersonobelix - Dom Mai 31, 2015 17:31

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derivada de (21-x)=-1
derivada de x=1
derivada de (16-2x)(21-x)x=-2.(21-x)x+(-1).(16-2x)x +1.(16-2x)(21-x)