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[Otimização]Maior área de um retângulo

[Otimização]Maior área de um retângulo

Mensagempor frank1 » Qua Mai 23, 2012 03:29

Fala pessoal blz?

Estou em dúvida na seguinte questão de otimização: "Prove que entre todos os retângulos com um dado perímetro P, o quadrado é o que possui maior área"

Até onde cheguei:
2x+2y=P e x.y=A, daí isolo x na primeira equação fica: x=(P-2y)/2, e levo para A, resultando em A=((P-2y)/2).y, e aí não sei mais...

E agora?

abraços!!!
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Re: [Otimização]Maior área de um retângulo

Mensagempor LuizAquino » Qua Mai 23, 2012 11:35

frank1 escreveu:Estou em dúvida na seguinte questão de otimização: "Prove que entre todos os retângulos com um dado perímetro P, o quadrado é o que possui maior área"

Até onde cheguei:
2x+2y=P e x.y=A, daí isolo x na primeira equação fica: x=(P-2y)/2, e levo para A, resultando em A=((P-2y)/2).y, e aí não sei mais...

E agora?


Agora basta aplicar o Teste da Primeira Derivada ou o Teste da Segunda Derivada. Se você não souber como proceder, então eu recomendo que você assista a videoaula "21. Cálculo I - Teste da Primeira e da Segunda Derivada". Ela está disponível em meu canal no YouTube:

http://www.youtube.com/LCMAquino

Se você não conseguir avançar mesmo após assistir a videoaula, então poste aqui até onde você conseguiu fazer.
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Re: [Otimização]Maior área de um retângulo

Mensagempor frank1 » Qua Mai 23, 2012 20:15

Opa Luiz, de antemão, já agradeço a ajuda :)

Então, derivando a função A=\frac{-2y^2+Py}{2} chego à seguinte expressão: \frac{-4y+P}{2}, dái então eu quero achar o ponto crítico, que resulta em y=\frac{P}{4}, e agora fico meio confuso...

Chegando a esse ponto crítico, como irei dizer se ele é um ponto de max ou um ponto de min? e se for de max/min como devo proceder?

abraços!!
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Re: [Otimização]Maior área de um retângulo

Mensagempor LuizAquino » Qui Mai 24, 2012 01:07

frank1 escreveu:Então, derivando a função A=\frac{-2y^2+Py}{2} chego à seguinte expressão: \frac{-4y+P}{2}, dái então eu quero achar o ponto crítico, que resulta em y=\frac{P}{4}


Ok.

frank1 escreveu:Chegando a esse ponto crítico, como irei dizer se ele é um ponto de max ou um ponto de min?


Isso é explicado na videoaula que indiquei anteriormente.

frank1 escreveu:e se for de max/min como devo proceder?


Vamos supor que você já conseguiu justificar que y = P/4 é o ponto de máximo.

Como você já sabe que x = (P - 2y)/2, substituindo y por P/4 você obtém que:

x = \frac{P-2\cdot \frac{P}{4}}{2}

x = \frac{P-\frac{P}{2}}{2}

x = \frac{\frac{2P - P}{2}}{2}

x = \frac{P}{4}

Desse modo, você pode concluir que x = y (já que ambos são iguais a P/4).

Note que isso significa que a maior área possível acontece quando o retângulo tem lados iguais. Ou seja, quando o retângulo é um quadrado.
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Re: [Otimização]Maior área de um retângulo

Mensagempor frank1 » Qui Mai 24, 2012 09:15

Caramba Luiz, MUITO obrigado , entendi a questão e agora estou entendendo muito mais sobre pontos críticos e teste de segunda derivada

;)

EDIT: Luiz, uma ultima duvida: se o teste da derivada segunda, indicasse que aquele era ponto de min, como eu iria proceder?
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Re: [Otimização]Maior área de um retângulo

Mensagempor LuizAquino » Qui Mai 24, 2012 18:44

frank1 escreveu:Luiz, uma ultima duvida: se o teste da derivada segunda, indicasse que aquele era ponto de min, como eu iria proceder?


Nesse caso, o enunciado do exercício estaria inconsistente, já que não haveria uma área máxima como é solicitado, mas sim uma área mínima.

De qualquer modo, no caso desse exercício, a pessoa tem que de fato obter que a área é máxima. Caso contrário, ela errou alguma coisa no desenvolvimento.
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Re: [Otimização]Maior área de um retângulo

Mensagempor lucasabreuo » Ter Mai 07, 2019 02:00

LuizAquino, boa noite!

Tenho um problema parecido com esse para resolver...Poderia me ajudar?

A questão é a seguinte:

Mostre que de todos os retângulos com uma dada área, aquele com o menor perímetro é um quadrado.

Nesse caso eu isolo o X da função Area do retângulo e substituo na função p do perímetro do retângulo e derivo?

Obrigado!
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}