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[Otimização]Maior área de um retângulo

[Otimização]Maior área de um retângulo

Mensagempor frank1 » Qua Mai 23, 2012 03:29

Fala pessoal blz?

Estou em dúvida na seguinte questão de otimização: "Prove que entre todos os retângulos com um dado perímetro P, o quadrado é o que possui maior área"

Até onde cheguei:
2x+2y=P e x.y=A, daí isolo x na primeira equação fica: x=(P-2y)/2, e levo para A, resultando em A=((P-2y)/2).y, e aí não sei mais...

E agora?

abraços!!!
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Re: [Otimização]Maior área de um retângulo

Mensagempor LuizAquino » Qua Mai 23, 2012 11:35

frank1 escreveu:Estou em dúvida na seguinte questão de otimização: "Prove que entre todos os retângulos com um dado perímetro P, o quadrado é o que possui maior área"

Até onde cheguei:
2x+2y=P e x.y=A, daí isolo x na primeira equação fica: x=(P-2y)/2, e levo para A, resultando em A=((P-2y)/2).y, e aí não sei mais...

E agora?


Agora basta aplicar o Teste da Primeira Derivada ou o Teste da Segunda Derivada. Se você não souber como proceder, então eu recomendo que você assista a videoaula "21. Cálculo I - Teste da Primeira e da Segunda Derivada". Ela está disponível em meu canal no YouTube:

http://www.youtube.com/LCMAquino

Se você não conseguir avançar mesmo após assistir a videoaula, então poste aqui até onde você conseguiu fazer.
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Re: [Otimização]Maior área de um retângulo

Mensagempor frank1 » Qua Mai 23, 2012 20:15

Opa Luiz, de antemão, já agradeço a ajuda :)

Então, derivando a função A=\frac{-2y^2+Py}{2} chego à seguinte expressão: \frac{-4y+P}{2}, dái então eu quero achar o ponto crítico, que resulta em y=\frac{P}{4}, e agora fico meio confuso...

Chegando a esse ponto crítico, como irei dizer se ele é um ponto de max ou um ponto de min? e se for de max/min como devo proceder?

abraços!!
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Re: [Otimização]Maior área de um retângulo

Mensagempor LuizAquino » Qui Mai 24, 2012 01:07

frank1 escreveu:Então, derivando a função A=\frac{-2y^2+Py}{2} chego à seguinte expressão: \frac{-4y+P}{2}, dái então eu quero achar o ponto crítico, que resulta em y=\frac{P}{4}


Ok.

frank1 escreveu:Chegando a esse ponto crítico, como irei dizer se ele é um ponto de max ou um ponto de min?


Isso é explicado na videoaula que indiquei anteriormente.

frank1 escreveu:e se for de max/min como devo proceder?


Vamos supor que você já conseguiu justificar que y = P/4 é o ponto de máximo.

Como você já sabe que x = (P - 2y)/2, substituindo y por P/4 você obtém que:

x = \frac{P-2\cdot \frac{P}{4}}{2}

x = \frac{P-\frac{P}{2}}{2}

x = \frac{\frac{2P - P}{2}}{2}

x = \frac{P}{4}

Desse modo, você pode concluir que x = y (já que ambos são iguais a P/4).

Note que isso significa que a maior área possível acontece quando o retângulo tem lados iguais. Ou seja, quando o retângulo é um quadrado.
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Re: [Otimização]Maior área de um retângulo

Mensagempor frank1 » Qui Mai 24, 2012 09:15

Caramba Luiz, MUITO obrigado , entendi a questão e agora estou entendendo muito mais sobre pontos críticos e teste de segunda derivada

;)

EDIT: Luiz, uma ultima duvida: se o teste da derivada segunda, indicasse que aquele era ponto de min, como eu iria proceder?
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Re: [Otimização]Maior área de um retângulo

Mensagempor LuizAquino » Qui Mai 24, 2012 18:44

frank1 escreveu:Luiz, uma ultima duvida: se o teste da derivada segunda, indicasse que aquele era ponto de min, como eu iria proceder?


Nesse caso, o enunciado do exercício estaria inconsistente, já que não haveria uma área máxima como é solicitado, mas sim uma área mínima.

De qualquer modo, no caso desse exercício, a pessoa tem que de fato obter que a área é máxima. Caso contrário, ela errou alguma coisa no desenvolvimento.
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Re: [Otimização]Maior área de um retângulo

Mensagempor lucasabreuo » Ter Mai 07, 2019 02:00

LuizAquino, boa noite!

Tenho um problema parecido com esse para resolver...Poderia me ajudar?

A questão é a seguinte:

Mostre que de todos os retângulos com uma dada área, aquele com o menor perímetro é um quadrado.

Nesse caso eu isolo o X da função Area do retângulo e substituo na função p do perímetro do retângulo e derivo?

Obrigado!
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Re: [Otimização]Maior área de um retângulo

Mensagempor adauto martins » Dom Jun 02, 2019 14:00

A=x.y...y=\sqrt[]{{d}^{2}-{x}^{2}}...logo:
A(x)=x.(\sqrt[]{{{d}^{2}-{{x}^{2}}}^{}})...
A'(x)=-2x(\sqrt[]{{{d}^{2}-{{x}^{2}}}^{}})+(-2{x}^{3}/(\sqrt[]{{{d}^{2}-{{x}^{2}}}^{}})=0...
2x.(d}^{2}-{x}^{2}-{x}^{2}/(\sqrt[]{{{d}^{2}-{{x}^{2}}}^{}}))=0\Rightarrow
x=\sqrt[]{{{d}^{2}-{{x}^{2}}}^{}}=y...x=y...
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Re: [Otimização]Maior área de um retângulo

Mensagempor adauto martins » Qui Jun 06, 2019 12:59

uma correçao:
A'(x)=\sqrt[]{{d}^{2}-{x}^{2}}-2{x}^{2}/(\sqrt[]{{d}^{2}-{x}^{2}})
no qual se segue o resultado acima...
A'(x)=({d}^{2}-{x}^{2}-{x}^{2})/(\sqrt[]{{d}^{2}-{x}^{2}})=0...

x=y......obrigado
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Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}