por NF17 » Qua Dez 28, 2011 16:27
Olá, vai ser o meu primeiro tópico neste fórum.
Tenho andado a estudar e surgiu esta dúvida. Como não estava a encontrar solução satisfatória em lado nenhum para o meu problema, pensei que vocês me pudessem ajudar.
O enunciado é o seguinte:
Mostrar, a partir da definição, que
![\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} (x^2+y^2) sin\left(\frac{1}{\sqrt[]{x^2+y^2}}\right) = 0 \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} (x^2+y^2) sin\left(\frac{1}{\sqrt[]{x^2+y^2}}\right) = 0](/latexrender/pictures/3adcb2962442f6460c5203568ab07048.png)
A minha resolução começou por ser esta, no entanto estou bloqueado a meio do processo e não sei como passar daí.
![\forall\:\delta>0\:\exists\varepsilon>0:0<\left|\right|(x,y)\:-\:(0,0)\left| \right|<\varepsilon\Rightarrow\left|(x^2+y^2)sin\left(\frac{1}{\sqrt[]{x^2+y^2}} \right)\right|<\delta \forall\:\delta>0\:\exists\varepsilon>0:0<\left|\right|(x,y)\:-\:(0,0)\left| \right|<\varepsilon\Rightarrow\left|(x^2+y^2)sin\left(\frac{1}{\sqrt[]{x^2+y^2}} \right)\right|<\delta](/latexrender/pictures/2afa654872713064a2a31991b8f2ec59.png)
![\forall\:\delta>0\:\exists\varepsilon>0:0<\sqrt[]{x^2+y^2}<\varepsilon\Rightarrow\left|(x^2+y^2)sin\left(\frac{1}{\sqrt[]{x^2+y^2}} \right)\right|<\delta \forall\:\delta>0\:\exists\varepsilon>0:0<\sqrt[]{x^2+y^2}<\varepsilon\Rightarrow\left|(x^2+y^2)sin\left(\frac{1}{\sqrt[]{x^2+y^2}} \right)\right|<\delta](/latexrender/pictures/5f83ea4b61088cb03347026478260890.png)
Aqui fiquei bloqueado porque não sei como resolver tendo um seno na função.
![\left|(x^2+y^2)sin\left(\frac{1}{\sqrt[]{x^2+y^2}} \right) \right|=(x^2+y^2)\left|sin\left(\frac{1}{\sqrt[]{x^2+y^2}} \right) \right| \left|(x^2+y^2)sin\left(\frac{1}{\sqrt[]{x^2+y^2}} \right) \right|=(x^2+y^2)\left|sin\left(\frac{1}{\sqrt[]{x^2+y^2}} \right) \right|](/latexrender/pictures/8e00b5a0fa42181e64f03309c3b82cba.png)
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por Renato_RJ » Qua Dez 28, 2011 23:52
Boa noite !!
Repare que a função seno é uma função limitada (tudo bem que o argumento tenderá ao infinito quando o par x,y tender a zero, mas mesmo assim, a imagem da função é limitada no intervalo [-1,1] ) enquanto que a função

tende a zero no limite, logo a função total vai tender a zero quando o par x,y tender a zero...
Acho que é isso..
Abraços,
Renato.
Iniciando a minha "caminhada" pela matemática agora... Tenho muito o quê aprender...
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por fraol » Qui Dez 29, 2011 21:14
Olá NF17 e Renato_RJ,
Aqui vai um esboço de uma prova formal.
Provar o limite dado é afirmar que: Dado

, existe

tal que se

então

.
Sabemos que

. Então vamos lá:
Seja

; tomemos

( a preencher).

Como

, então devemos ter

.
Assim podemos preencher a lacuna acima com

e concluímos que:
Seja

; tomemos

então

sempre que

ou seja:

.
E então o que vocês acham? Críticas, sugestões ...
Abç,
Francisco.
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por Renato_RJ » Qui Dez 29, 2011 22:53
Gostei, me parece correto... Eu parti logo para o Teorema do Confronto, acho mais tranquilo de fazer esse tipo de exercício...
[ ]'s
Renato.
Iniciando a minha "caminhada" pela matemática agora... Tenho muito o quê aprender...
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ssousa3 - Dom Abr 03, 2011 20:55
alguém poderia me ajudar nesse exercício aqui Uma loja de CDs adquire cada unidade por R$20,00 e a revende por R$30,00. Nestas condições,
a quantidade mensal que consegue vender é 500 unidades. O proprietário estima que, reduzindo o preço para R$28,00, conseguirá vender 600 unidades por mês.
a) Obtenha a função demanda, supondo ser linear
Eu faço ensino médio mas compro apostilas de concursos para me preparar para mercado de trabalho e estudar sozinho não é fácil. Se alguém puder me ajudar aqui fico grato
Assunto:
função demanda
Autor:
ssousa3 - Seg Abr 04, 2011 14:30
Gente alguém por favor me ensine a calcular a fórmula da função demanda

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