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[Limites] Limites em R2

[Limites] Limites em R2

Mensagempor NF17 » Qua Dez 28, 2011 16:27

Olá, vai ser o meu primeiro tópico neste fórum.

Tenho andado a estudar e surgiu esta dúvida. Como não estava a encontrar solução satisfatória em lado nenhum para o meu problema, pensei que vocês me pudessem ajudar.

O enunciado é o seguinte:

Mostrar, a partir da definição, que

\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} (x^2+y^2) sin\left(\frac{1}{\sqrt[]{x^2+y^2}}\right) = 0


A minha resolução começou por ser esta, no entanto estou bloqueado a meio do processo e não sei como passar daí.

\forall\:\delta>0\:\exists\varepsilon>0:0<\left|\right|(x,y)\:-\:(0,0)\left| \right|<\varepsilon\Rightarrow\left|(x^2+y^2)sin\left(\frac{1}{\sqrt[]{x^2+y^2}} \right)\right|<\delta

\forall\:\delta>0\:\exists\varepsilon>0:0<\sqrt[]{x^2+y^2}<\varepsilon\Rightarrow\left|(x^2+y^2)sin\left(\frac{1}{\sqrt[]{x^2+y^2}} \right)\right|<\delta

Aqui fiquei bloqueado porque não sei como resolver tendo um seno na função.

\left|(x^2+y^2)sin\left(\frac{1}{\sqrt[]{x^2+y^2}} \right) \right|=(x^2+y^2)\left|sin\left(\frac{1}{\sqrt[]{x^2+y^2}} \right) \right|
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Re: [Limites] Limites em R2

Mensagempor Renato_RJ » Qua Dez 28, 2011 23:52

Boa noite !!

Repare que a função seno é uma função limitada (tudo bem que o argumento tenderá ao infinito quando o par x,y tender a zero, mas mesmo assim, a imagem da função é limitada no intervalo [-1,1] ) enquanto que a função x^2+y^2 tende a zero no limite, logo a função total vai tender a zero quando o par x,y tender a zero...

Acho que é isso..

Abraços,
Renato.
Iniciando a minha "caminhada" pela matemática agora... Tenho muito o quê aprender...
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Re: [Limites] Limites em R2

Mensagempor fraol » Qui Dez 29, 2011 21:14

Olá NF17 e Renato_RJ,

Aqui vai um esboço de uma prova formal.

Provar o limite dado é afirmar que: Dado \epsilon > 0, existe \delta > 0 tal que se \left| \left( x^2 + y^2 \right) sen{\left( \frac{1}{\sqrt(x^2 + y^2)} \right)}  \right| < \epsilon então || (x,y) || < \delta.

Sabemos que || (x,y) || = \sqrt(x^2+y^2). Então vamos lá:

Seja \epsilon > 0; tomemos \delta = {-------} ( a preencher).

\left| \left( x^2 + y^2 \right) sen{\left( \frac{1}{\sqrt(x^2 + y^2)} \right)}  \right|

= \left| \left( x^2 + y^2 \right) \right| \left| sen{\left( \frac{1}{\sqrt(x^2 + y^2)} \right)}  \right|

Como 0 <= \left| sen{\left( \frac{1}{\sqrt(x^2 + y^2)} \right)}  \right| <= 1, então devemos ter

= \left| \left( x^2 + y^2 \right) \right| < \epsilon \iff \left( \sqrt(x^2 + y^2 \right) < \sqrt(\epsilon).

Assim podemos preencher a lacuna acima com \delta = \sqrt(\epsilon) e concluímos que:

Seja \epsilon > 0; tomemos \delta = \sqrt(\epsilon) então

\left| \left( x^2 + y^2 \right) sen{\left( \frac{1}{\sqrt(x^2 + y^2)} \right)}  \right| < \epsilon sempre que 0 < || (x,y) || = \sqrt(x^2+y^2) < \delta ou seja:

lim_{(x,y)->(0,0)} \left| \left( x^2 + y^2 \right) sen{\left( \frac{1}{\sqrt(x^2 + y^2)} \right)}  \right| = 0 .

E então o que vocês acham? Críticas, sugestões ...

Abç,
Francisco.
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Re: [Limites] Limites em R2

Mensagempor Renato_RJ » Qui Dez 29, 2011 22:53

Gostei, me parece correto... Eu parti logo para o Teorema do Confronto, acho mais tranquilo de fazer esse tipo de exercício...

[ ]'s
Renato.
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Assunto: função demanda
Autor: ssousa3 - Dom Abr 03, 2011 20:55

alguém poderia me ajudar nesse exercício aqui Uma loja de CDs adquire cada unidade por R$20,00 e a revende por R$30,00. Nestas condições,
a quantidade mensal que consegue vender é 500 unidades. O proprietário estima que, reduzindo o preço para R$28,00, conseguirá vender 600 unidades por mês.
a) Obtenha a função demanda, supondo ser linear

Eu faço ensino médio mas compro apostilas de concursos para me preparar para mercado de trabalho e estudar sozinho não é fácil. Se alguém puder me ajudar aqui fico grato


Assunto: função demanda
Autor: ssousa3 - Seg Abr 04, 2011 14:30

Gente alguém por favor me ensine a calcular a fórmula da função demanda *-)