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[Limimite] Limite de sequência e teorema do confronto

[Limimite] Limite de sequência e teorema do confronto

Mensagempor Aliocha Karamazov » Qui Set 15, 2011 21:01

Caros, quero fazer esse exercício, mas não tive nenhuma ideia para iniciar. Gostaria de receber alguma dica para poder encaminhar minha resolução. O exercício é esse:

Mostre, usando o teorema do confronto, que, se a_{n}->0, então, \lim_{n\to\infty}sen(a_{n})=0

Conclua então que, se a_{n}->0, então \lim_{n\to\infty}cos(a_{n})=1
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Re: [Limimite] Limite de sequência e teorema do confronto

Mensagempor MarceloFantini » Sex Set 16, 2011 00:46

Note que podemos afirmar que 0 \leq |\textrm{sen}(a_n)| \leq |a_n|. Aplicando o teorema do confronto, o limite da esquerda vai para zero, o limite da direita vai para zero, e portanto o limite \lim_{n \to \infty} \textrm{sen }(a_n) = 0.
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Re: [Limimite] Limite de sequência e teorema do confronto

Mensagempor Aliocha Karamazov » Sex Set 16, 2011 00:51

MarceloFantini escreveu:Note que podemos afirmar que 0 \leq |\textrm{sen}(a_n)| \leq |a_n|. Aplicando o teorema do confronto, o limite da esquerda vai para zero, o limite da direita vai para zero, e portanto o limite \lim_{n \to \infty} \textrm{sen }(a_n) = 0.


Por que podemos afirmar que 0 \leq |\textrm{sen}(a_n)| \leq |a_n|?
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Re: [Limimite] Limite de sequência e teorema do confronto

Mensagempor MarceloFantini » Sex Set 16, 2011 01:04

Pois f(x) = x - \textrm{sen } x é não decrescente, e o único intervalo onde isto poderia dar problema é 0 < x < \frac{\pi}{2}.
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Re: [Limimite] Limite de sequência e teorema do confronto

Mensagempor Aliocha Karamazov » Sex Set 16, 2011 01:42

Desculpe, Marcelo, mas será que você poderia detalhar um pouco mais seu raciocínio? Ainda não entendi por que 0 \leq |\textrm{sen}(a_n)| \leq |a_n|.

O que podemos afirmar sobre a_{n} é que essa sequência tende a zero, quando n tende ao infinito. Mas como isso implica que seu módulo é sempre maior que o módulo de sen(a_{n})? Isso vem de alguma prova geométrica?

Tendo outra dúvida. Consegui provar de outra maneira:
Utilizando essa desigualdade, que pode ser demonstrada geometricamente:

0<cos(x)<\frac{sen(x)}{x}<\frac{1}{cos(x)}

Escrevendo em função de a_{n}:

0<cos(a_{n})<\frac{sen(a_{n})}{a_{n}}<\frac{1}{cos(a_{n})}

Multiplicando tudo por a_{n}:

cos(a_{n})a_{n}<sen(a_{n})<\frac{a_{n}}{cos(a_{n})}

Mas,

\lim_{n\to\infty}cos(a_{n})a_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{cos(a_{n})}=0

E, pelo teorema do confronto, se a_{n} \shortrightarrow 0, \lim_{n\to\infty}sen(a_{n})=0

Agora que vem minha dúvida. Para essa demonstração, eu utilizei \lim_{n\to\infty}cos(a_{n})=1 (já tomando isso com verdadeiro). E, para mostrar que \lim_{n\to\infty}cos(a_{n})=1 (que é a outra parte do exercício), é preciso utilizar a_{n}->0, \lim_{n\to\infty}sen(a_{n})=0.
Ou seja, para demonstrar a propriedade A, usa-se a propriedade B; e, para demonstar B, usa-se A. Pode fazer isso? Supondo que B fosse falsa, se B implica A, como saber que A também não é falsa?
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Re: [Limimite] Limite de sequência e teorema do confronto

Mensagempor MarceloFantini » Sex Set 16, 2011 16:56

Esta é uma relação que vale para qualquer x real, em particular para a sequência que você está trabalhando. Não sei a demonstração.
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{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: Vennom - Sex Set 23, 2011 21:41

zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.


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Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.


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Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.