Criterio da Razão,Ajuda com erro simples

por **staltux** » Seg Out 25, 2010 14:54

bom pessoal, meu problema nem é tanto quanto ao criterio da razão propriamente dito, e sim com a matematica basica envolvida no meio...empaquei logo no começo, vou mostrar aqui as unicas coisas que consegui fazer...

O exercicio pede para dizer se converge(L<1) ou diverge(L>1).

$\sum_{n=1}^{\propto} frac{{4}^{n}}{{n}^{2}}$

entãm tentei deixar como pede a formula:

$\lim_{n\rightarrow\propto} \left| \frac{an+1}{an} \right| = L$

ficando:
$\frac{\frac{{4}^{n+1}}{{(n+1)}^{2}}}{\frac{{4}^{n}}{{n}^{2}}}$

entam fiz dividendo X inverso do divisor:

$\frac{{4}^{n+1}}{{(n+1)}^{2}} \frac{{n}^{2}}{{4}^{n}}$

e é ai que o bixo pego pro meu lado, as unicas informações que sei é que ${4}^{n+1} = {4}^{n} . {4}^{1}$
o que não me ajudou em nada, eu até pensei em fazer a parter de produtos notaveis do primeiro grupo, mas só piorou.
fica aqui onde chegeui com produtos notaveis:

$\frac{{4}^{n+1}}{{n}^{2}+2n+1} \frac{ {n}^{2} }{ {4}^{n} }$

eu fiz besteira pro meio do caminho ou não? se não, como continuo,pois se aplicar o limite agora não vai funcionar.

por **andrefahl** » Sex Out 29, 2010 12:59

Cara, eu acho que vc chegou bem perto

repare só:

$\frac{4^n^+^1}{(n^2 +2n +1)}\frac{n^2}{4^n} = \frac{ 4^n 4^1}{(n^2 +2n +1)}\frac{n^2}{4^n}$

Agira o 4^n

cancela com o 4^n

ficando o seguinte

$\frac{4 n^2}{(n^2 +2n +1)}$

para calcular o limite divide tudo pela maior potencia

$\Rightarrow \frac{ \frac {4n^2}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2} + \frac{2n}{n^2} + \frac{1}{n^2}} = \frac{4}{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}$

agora eh só calcular o limite que resulta em 4 =)

dai o limite é maior que 1