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Cálculo vetorial. Curvas

Cálculo vetorial. Curvas

Mensagempor guilherme5088 » Ter Abr 06, 2021 11:34

Seja α(t) uma curva parametrizada que não passa pela origem. Se α(to) é o ponto do traço de α mais próximo da origem e α'(to) é diferente de 0. Mostre que o vetor posição α(t) é ortogonal a α'(to).
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Re: Cálculo vetorial. Curvas

Mensagempor adauto martins » Qui Abr 08, 2021 13:12

temos que

\left|\alpha(t) \right|^2=\alpha(t).\alpha(t)

d/dt(\left|\alpha(t) \right|^2)=0\Rightarrow

d/dt(\alpha(t).\alpha(t))=d/dt(\alpha(t).\alpha(t)+\alpha(t).d/dt(\alpha(t)=0
\Rightarrow 

2.\alpha(t).d/dt(\alpha(t))=0\Rightarrow \alpha(t).d/dt=0

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Re: Cálculo vetorial. Curvas

Mensagempor guilherme5088 » Qui Abr 08, 2021 20:17

Não entendi pq vc igualou a zero logo no começo da soluçao.
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Re: Cálculo vetorial. Curvas

Mensagempor guilherme5088 » Qui Abr 08, 2021 20:19

Isso ocorre pq o produto escalar é um número?
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Re: Cálculo vetorial. Curvas

Mensagempor guilherme5088 » Qui Abr 08, 2021 23:33

Entendi agora. Como |a(to)| é mínimo, entao to é um ponto crítico, isso implica g'(t)=0, considerando g(t)= <a(t),a(t)>
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Re: Cálculo vetorial. Curvas

Mensagempor LuizAquino » Sex Abr 09, 2021 13:28

guilherme5088 escreveu:Seja α(t) uma curva parametrizada que não passa pela origem. Se α(to) é o ponto do traço de α mais próximo da origem e α'(to) é diferente de 0. Mostre que o vetor posição α(t) é ortogonal a α'(to).


Olá Guilherme, veja minha resolução neste vídeo:

https://www.youtube.com/watch?v=1XRFbaIvguQ

Eu espero que isso possa ajudar!
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Re: Cálculo vetorial. Curvas

Mensagempor adauto martins » Sex Abr 09, 2021 17:07

pois é meu caro guilherme,
toda curva,cujo traço(caminho) é continua e diferencial em um dado dominio,tem-se o vetor posiçao ortogonal ao vetor tangente("velocidade"),isso é um teorema,bom de provar.pois é a norma de um vetor,é um escalar,logo a derivada de um escalar e zero.
assim como tambem teremos

\alpha'(t).\alpha''(t)=0
fica como exercicio.
bom o video do luiz aquino,elucida muito sobre parametrizaçao de curvas...
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Re: Cálculo vetorial. Curvas

Mensagempor guilherme5088 » Sex Abr 09, 2021 21:05

LuizAquino escreveu:
guilherme5088 escreveu:Seja α(t) uma curva parametrizada que não passa pela origem. Se α(to) é o ponto do traço de α mais próximo da origem e α'(to) é diferente de 0. Mostre que o vetor posição α(t) é ortogonal a α'(to).


Olá Guilherme, veja minha resolução neste vídeo:

https://www.youtube.com/watch?v=1XRFbaIvguQ

Eu espero que isso possa ajudar!


Sou inscrito no seu canal, professor. Muito bom o vídeo.
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Re: Cálculo vetorial. Curvas

Mensagempor LuizAquino » Sex Abr 09, 2021 21:45

guilherme5088 escreveu:Sou inscrito no seu canal, professor. Muito bom o vídeo.


Legal! :)
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}