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problemas usando derivadas

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Mensagempor ezidia51 » Sex Set 07, 2018 17:21

Alguém sabe como resolver estes problemas usando derivadas?
1-Uma peça de formato cilíndrico está em processo de aquecimento e, neste processo, está se dilatando. Suas dimensões estão variando da maneira que segue: quando o raio da base r=r(t) vale 8 cm , ele está aumentando a uma taxa de 1 cm/s e, neste instante, a altura vale 10 cm e está aumentando a uma taxa de 3 cm/s.

Calcule a taxa de variação do volume do cilindro neste instante. Adote pi=3

2-Num acidente ecológico em que ocorreu vazamento de óleo de um navio cargueiro, os especialistas envolvidos no evento detectaram que a mancha de óleo era de formato aproximadamente circular e que, num determinado instante, o raio desta mancha era de 300 m e aumentava a uma taxa de 20m/h. Calcule a que velocidade aumentava a área da mancha neste instante. Adote ..pi=3
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Re: problemas usando derivadas

Mensagempor Gebe » Sex Set 07, 2018 22:49

1) O volume do cilindro varia em função do Raio e da Altura. O raio e a altra por sua vez variam em função do tempo.
Perceba que para achar a variação do volume no tempo, precisaremos na verdade achar a sua variação em relação ao raio e a altura.
Podemos fazer isto aplicando a regra da cadeia:

\\
\frac{d\left(V(t) \right)}{dt} = \frac{d(V\left(R(t), H(t)  \right)}{dt}\\
\\
\frac{d(V\left(R(t), H(t)  \right)}{dt} = \frac{dV}{dR}*\frac{dR}{dt}+\frac{dV}{dH}*\frac{dH}{dt}\\
\\

Como ja temos a variação do volume com o tempo e da altura com o tempo, basta avaliarmos dV/dR e dV/dH

\\
\frac{dV}{dR} = 2\pi*r*h\\
\\
\frac{dV}{dH} = \pi*r^2\\

Por fim, temos os valores de R e H no momento de observação:
\\
\frac{dV}{dt} = (2*\pi*8*10)*1cm/s + (\pi*8^2)*3cm/s = 1056cm^3/s

2)Seguindo a mesma linha do anterior, teremos:
\\
\frac{d\left(A(t) \right)}{dt} = \frac{d(A\left(R(t) \right)}{dt}\\
\\
\frac{d(A\left(R(t) \right)}{dt} = \frac{dA}{dR}*\frac{dR}{dt}\\
\\

Como ja temos a variação da area com o tempo , basta avaliarmos dA/dR

\\
\frac{dA}{dR} = 2\pi*r\\
\\

Por fim, temos os valores de R no momento de observação:
\\
\frac{dA}{dt} = (2*\pi*300)*20m/h = 36000m^2/h

Espero ter ajudado, qualquer duvida deixe msg.
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Re: problemas usando derivadas

Mensagempor ezidia51 » Sáb Set 08, 2018 19:47

Valeu mesmo!!!Um super muito obrigado.Agora entendi e vou praticar mais estes problemas com derivadas!!! :y: :y: :y: :y: :y: :y:
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Re: problemas usando derivadas

Mensagempor ezidia51 » Sáb Set 08, 2018 20:57

Você poderia dar uma olhada nestes cálculos de derivada que eu fiz.Fiquei com dúvida na derivada terceira função.Obrigada
Anexos
P_20180908_195025.jpg
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Re: problemas usando derivadas

Mensagempor Gebe » Dom Set 09, 2018 00:45

1) Tua resolução está certa, mas tu marcou a alternativa errada. Se simplificar a fração dará a alternativa (a).

2) Certo

3) Certo se o "-3x^2sen(x^3)" estiver fora da resposta.

4) Certo

Bons estudos!
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Re: problemas usando derivadas

Mensagempor ezidia51 » Dom Set 09, 2018 15:15

:y: :y: :y: :y: :y: :y: :y: Super mega obrigado!!!!!!
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Re: problemas usando derivadas

Mensagempor Gebe » Dom Set 09, 2018 15:29

:y:
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problemas com gráfico

Mensagempor ezidia51 » Seg Set 10, 2018 19:43

Olá vc poderia me ajudar com este exercício de gráfico.Estou meia confusa em como montar os cálculos?
Anexos
P_20180910_183001.jpg
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gráfico

Mensagempor ezidia51 » Seg Set 10, 2018 19:46

Segue aqui o gráfico referente as questões.Se vc puder me ajudar eu agradeço muito.
Anexos
P_20180910_182936.jpg
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Re: problemas usando derivadas

Mensagempor Gebe » Ter Set 11, 2018 05:00

4)
Vamos primeiro achar a relação entre os dois triangulos retangulos que destaco na figura.
Sem título.png

\\
\frac{y-2}{4} = \frac{2}{x-4}\\
\\
(y-2)(x-4) = 2*4\\
\\
yx-4y-2x+8 = 8\\
\\
y(x-4) = 2x\\
\\
y = \frac{2x}{x-4}

Agora perceba que temos 'y' em função de 'x', logo basta substituirmos esta espressão na formula da area:
\\
A(x) = \frac{xy}{2}\\
\\
A(x) = \frac{\left( \frac{2x}{x-4}\right)*x}{2}\\
\\
A(x) = \frac{x^2}{x-4}

5)
Para minimizar a area vamos utilizar a derivada primeira de A(x) e igualar a zero:
\\
\frac{dA(x)}{dx} = 0\\
\\
\frac{dA(x)}{dx} = \frac{2x(x-4)-x^2}{(x-4)^2}=\frac{x^2-8x}{(x-4)^2}\\
\\
Para\;que\;\frac{dA(x)}{dx} = 0\;\rightarrow\;x^2-8x = 0\\
\\
x^2-8x = 0\\
\\
x(x-8) = 0\\
\\
x_1=0\;\;x_2 = 8
x = 0 pode ser descartado e ficamos com o x = 8.
Este x = 8 vai ser o ponto da reta com ordenada nula (y = 0). Temos agora dois pontos (4 , 2) e (8 , 0).
Vamos achar a equação da reta que une estes pontos:
Coef. angular = (4 - 8) / (2 - 0) = -0.5
Eq. da reta: (y - 0) = -0.5 (x - 8)
Eq. da reta: y = -0.5x + 4 ou y = -x/2 + 4

Bons estudos!
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Re: problemas usando derivadas

Mensagempor ezidia51 » Ter Set 11, 2018 19:25

muito muito obrigada!!!Valeu!!! :y: :y: :y: :y: :y: :y: :y:
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Re: problemas usando derivadas

Mensagempor Gebe » Qua Set 12, 2018 04:43

:y:
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Re: problemas usando derivadas

Mensagempor ezidia51 » Qua Set 12, 2018 22:20

Olá vc poderia me ajudar e ver se eu fiz estes exercícios corretamente?Muito Obrigada
Anexos
P_20180912_211408.jpg
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Re: problemas usando derivadas

Mensagempor Gebe » Qui Set 13, 2018 12:55

1)
Certo, considerando que seja "-3x³" e não "-3x²" como está escrito. A alternativa, no entanto, pode ser ambigua, porque não deixa claro se está considerando o 0 um minimo local ou global. Logo convém destacar que 0 é minimo local.

2)
Errado
A função é decrescente quando sua derivada primeira é negativa e crescente quando é positiva.
f(x) = x³ - 9x² + 12
f '(x) = 3x² - 18x
Para que f '(x) < 0 (decrescente) :
3x² - 18x < 0
Como estamos tratando de uma função quadratica de concavidade voltada para cima ('a' > 0) e com Delta > 0 (Delta = 324), sabemos que os valores negativos acontecem entre as duas raizes, ou seja, no intervalo aberto (0 , 6).

3)
Certo

4)
Certo
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Re: problemas usando derivadas

Mensagempor ezidia51 » Qui Set 13, 2018 18:54

Muito muito obrigada!!!Vc me ajudou muito!!! :y: :y: :y: :y:
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Re: problemas usando derivadas

Mensagempor Gebe » Qui Set 13, 2018 18:57

:y:
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Re: problemas usando derivadas

Mensagempor ezidia51 » Sex Set 14, 2018 16:05

Você poderia me ajudar com estas 3 questões porque não consegui entender o enunciado.Todas as 3 perguntas estão baseadas no enunciado da função,mas não consegui entender por causa do número 2 na chave.Obrigado
Anexos
P_20180914_145900.jpg
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Re: problemas usando derivadas

Mensagempor Gebe » Sex Set 14, 2018 16:38

O enunciado só está destacando que "x = 2" não está no dominio da função. Perceba que se tentarmos jogar o valor 2 na função teremos uma divisão por 0 (zero).
Outra forma, que se acha mais comumente do enunciado é: "f R - {2} -> R" (com sinal de subtração).
Resposta: letra a

Vale ressaltar também que, embora o 2 não esteja no dominio, podemos avaliar como a função se comporta perto desse valor tomando-se o limite.
Assim que puder vejo as outras questões (escrevendo do celular).
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Re: problemas usando derivadas

Mensagempor ezidia51 » Sex Set 14, 2018 17:55

Muito obrigado!!! :y: :y: :y: :y:
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Re: problemas usando derivadas

Mensagempor Gebe » Sex Set 14, 2018 20:17

Complementando a 1ª questão:
Nos dois primeiros limites, com tendência a +infinito e menos infinito temos uma indeterminação (inf/inf e -inf/-inf).
Podemos utilizar l'Hopital para resolve-la derivando numerador e denominador. Com isso, nos dois casos chegamos ao resultado do limite igual a 2/3.
O dois outros limites, limite lateral pela direita e pela esquerda respectivamente tendendo a 2, podem ser interpretados assim:
Se pegarmos um valor ligeiramente menor que 2, digamos 1.999999999, e substituirmos na função veremos que a tendência é de atingir um valor negativo grande, ou seja, ao nos aproximarmos de 2 pela esquerda a função tenderá a -infinito. De forma semelhante ao nos aproximarmos pela direita a função tenderá a +infinito.

2) Como as alternativas afirmam quanto a inclinação da curva (crescente/decrescente), vamos avaliar o sinal da derivada primeira. Intervalos de derivada positiva indicam um intervalo crescente, e negativa intervalos decrescentes.
f '(x) = -12/(3x-6)²
O denominador (3x-6)² é sempre positivo, logo a derivada será sempre negativa e, portanto, a curva é decrescente em todo seu domínio. Veja parte dessa curva:
Sem título.png
Sem título.png (9.1 KiB) Exibido 121 vezes


3) As alternativas aqui abordam a concavidade da curva. Como a derivada segunda f ''(x) = 8/[3(x-2)³] não possui zeros (verificar!), ou seja, possíveis inflexões da curva, vamos dividir a analise na sua indeterminação (x=2).
A concavidade é dada pelo sinal da derivada segunda, se positiva a concavidade é para cima, se negativa concavidade para baixo.
Para x<2 a derivada segunda tem valores negativos, logo concavidade para baixo.
Para x>2 a derivada segunda tem valores positivos, logo concavidade para cima.
I -> Errada
II -> Certo
III -> Certo

Qualquer duvida, deixa msg.
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Re: problemas usando derivadas

Mensagempor ezidia51 » Sáb Set 15, 2018 19:41

:y: :y: :y: :y: :y: muito muito obrigada!!
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Re: problemas usando derivadas

Mensagempor Gebe » Sáb Set 15, 2018 20:34

:y:
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.