problemas usando derivadas

por **ezidia51** » Sex Set 07, 2018 17:21

Alguém sabe como resolver estes problemas usando derivadas?
1-Uma peça de formato cilíndrico está em processo de aquecimento e, neste processo, está se dilatando. Suas dimensões estão variando da maneira que segue: quando o raio da base r=r(t) vale 8 cm , ele está aumentando a uma taxa de 1 cm/s e, neste instante, a altura vale 10 cm e está aumentando a uma taxa de 3 cm/s.

Calcule a taxa de variação do volume do cilindro neste instante. Adote pi=3

2-Num acidente ecológico em que ocorreu vazamento de óleo de um navio cargueiro, os especialistas envolvidos no evento detectaram que a mancha de óleo era de formato aproximadamente circular e que, num determinado instante, o raio desta mancha era de 300 m e aumentava a uma taxa de 20m/h. Calcule a que velocidade aumentava a área da mancha neste instante. Adote ..pi=3

por **Gebe** » Sex Set 07, 2018 22:49

1) O volume do cilindro varia em função do Raio e da Altura. O raio e a altra por sua vez variam em função do tempo.
Perceba que para achar a variação do volume no tempo, precisaremos na verdade achar a sua variação em relação ao raio e a altura.
Podemos fazer isto aplicando a regra da cadeia:

$\\ \frac{d\left(V(t) \right)}{dt} = \frac{d(V\left(R(t), H(t) \right)}{dt}\\ \\ \frac{d(V\left(R(t), H(t) \right)}{dt} = \frac{dV}{dR}*\frac{dR}{dt}+\frac{dV}{dH}*\frac{dH}{dt}\\ \\$

Como ja temos a variação do volume com o tempo e da altura com o tempo, basta avaliarmos dV/dR e dV/dH

$\\ \frac{dV}{dR} = 2\pi*r*h\\ \\ \frac{dV}{dH} = \pi*r^2\\$

Por fim, temos os valores de R e H no momento de observação:
$\\ \frac{dV}{dt} = (2*\pi*8*10)*1cm/s + (\pi*8^2)*3cm/s = 1056cm^3/s$

2)Seguindo a mesma linha do anterior, teremos:
$\\ \frac{d\left(A(t) \right)}{dt} = \frac{d(A\left(R(t) \right)}{dt}\\ \\ \frac{d(A\left(R(t) \right)}{dt} = \frac{dA}{dR}*\frac{dR}{dt}\\ \\$

Como ja temos a variação da area com o tempo , basta avaliarmos dA/dR

$\\ \frac{dA}{dR} = 2\pi*r\\ \\$

Por fim, temos os valores de R no momento de observação:
$\\ \frac{dA}{dt} = (2*\pi*300)*20m/h = 36000m^2/h$

Espero ter ajudado, qualquer duvida deixe msg.

por **ezidia51** » Sáb Set 08, 2018 19:47

Valeu mesmo!!!Um super muito obrigado.Agora entendi e vou praticar mais estes problemas com derivadas!!! :y:

por **ezidia51** » Sáb Set 08, 2018 20:57

Você poderia dar uma olhada nestes cálculos de derivada que eu fiz.Fiquei com dúvida na derivada terceira função.Obrigada

por **Gebe** » Dom Set 09, 2018 00:45

1) Tua resolução está certa, mas tu marcou a alternativa errada. Se simplificar a fração dará a alternativa (a).

2) Certo

3) Certo se o "-3x^2sen(x^3)" estiver fora da resposta.

4) Certo

Bons estudos!

por **ezidia51** » Dom Set 09, 2018 15:15

Super mega obrigado!!!!!!

por **Gebe** » Dom Set 09, 2018 15:29

por **ezidia51** » Seg Set 10, 2018 19:43

Olá vc poderia me ajudar com este exercício de gráfico.Estou meia confusa em como montar os cálculos?

por **ezidia51** » Seg Set 10, 2018 19:46

Segue aqui o gráfico referente as questões.Se vc puder me ajudar eu agradeço muito.

por **Gebe** » Ter Set 11, 2018 05:00

4)
Vamos primeiro achar a relação entre os dois triangulos retangulos que destaco na figura.

$\\ \frac{y-2}{4} = \frac{2}{x-4}\\ \\ (y-2)(x-4) = 2*4\\ \\ yx-4y-2x+8 = 8\\ \\ y(x-4) = 2x\\ \\ y = \frac{2x}{x-4}$

Agora perceba que temos 'y' em função de 'x', logo basta substituirmos esta espressão na formula da area:
$\\ A(x) = \frac{xy}{2}\\ \\ A(x) = \frac{\left( \frac{2x}{x-4}\right)*x}{2}\\ \\ A(x) = \frac{x^2}{x-4}$

5)
Para minimizar a area vamos utilizar a derivada primeira de A(x) e igualar a zero:
$\\ \frac{dA(x)}{dx} = 0\\ \\ \frac{dA(x)}{dx} = \frac{2x(x-4)-x^2}{(x-4)^2}=\frac{x^2-8x}{(x-4)^2}\\ \\ Para\;que\;\frac{dA(x)}{dx} = 0\;\rightarrow\;x^2-8x = 0\\ \\ x^2-8x = 0\\ \\ x(x-8) = 0\\ \\ x_1=0\;\;x_2 = 8$
x = 0 pode ser descartado e ficamos com o x = 8.
Este x = 8 vai ser o ponto da reta com ordenada nula (y = 0). Temos agora dois pontos (4 , 2) e (8 , 0).
Vamos achar a equação da reta que une estes pontos:
Coef. angular = (4 - 8) / (2 - 0) = -0.5
Eq. da reta: (y - 0) = -0.5 (x - 8)
Eq. da reta: y = -0.5x + 4 ou y = -x/2 + 4

Bons estudos!

por **ezidia51** » Ter Set 11, 2018 19:25

muito muito obrigada!!!Valeu!!! :y:

por **Gebe** » Qua Set 12, 2018 04:43

por **ezidia51** » Qua Set 12, 2018 22:20

Olá vc poderia me ajudar e ver se eu fiz estes exercícios corretamente?Muito Obrigada

por **Gebe** » Qui Set 13, 2018 12:55

1)
Certo, considerando que seja "-3x³" e não "-3x²" como está escrito. A alternativa, no entanto, pode ser ambigua, porque não deixa claro se está considerando o 0 um minimo local ou global. Logo convém destacar que 0 é minimo local.

2)
Errado
A função é decrescente quando sua derivada primeira é negativa e crescente quando é positiva.
f(x) = x³ - 9x² + 12
f '(x) = 3x² - 18x
Para que f '(x) < 0 (decrescente) :
3x² - 18x < 0
Como estamos tratando de uma função quadratica de concavidade voltada para cima ('a' > 0) e com Delta > 0 (Delta = 324), sabemos que os valores negativos acontecem entre as duas raizes, ou seja, no intervalo aberto (0 , 6).

3)
Certo

4)
Certo

por **ezidia51** » Qui Set 13, 2018 18:54

Muito muito obrigada!!!Vc me ajudou muito!!! :y:

por **Gebe** » Qui Set 13, 2018 18:57

por **ezidia51** » Sex Set 14, 2018 16:05

Você poderia me ajudar com estas 3 questões porque não consegui entender o enunciado.Todas as 3 perguntas estão baseadas no enunciado da função,mas não consegui entender por causa do número 2 na chave.Obrigado

por **Gebe** » Sex Set 14, 2018 16:38

O enunciado só está destacando que "x = 2" não está no dominio da função. Perceba que se tentarmos jogar o valor 2 na função teremos uma divisão por 0 (zero).
Outra forma, que se acha mais comumente do enunciado é: "f R - {2} -> R" (com sinal de subtração).
Resposta: letra a

Vale ressaltar também que, embora o 2 não esteja no dominio, podemos avaliar como a função se comporta perto desse valor tomando-se o limite.
Assim que puder vejo as outras questões (escrevendo do celular).

por **ezidia51** » Sex Set 14, 2018 17:55

Muito obrigado!!! :y:

por **Gebe** » Sex Set 14, 2018 20:17

Complementando a 1ª questão:
Nos dois primeiros limites, com tendência a +infinito e menos infinito temos uma indeterminação (inf/inf e -inf/-inf).
Podemos utilizar l'Hopital para resolve-la derivando numerador e denominador. Com isso, nos dois casos chegamos ao resultado do limite igual a 2/3.
O dois outros limites, limite lateral pela direita e pela esquerda respectivamente tendendo a 2, podem ser interpretados assim:
Se pegarmos um valor ligeiramente menor que 2, digamos 1.999999999, e substituirmos na função veremos que a tendência é de atingir um valor negativo grande, ou seja, ao nos aproximarmos de 2 pela esquerda a função tenderá a -infinito. De forma semelhante ao nos aproximarmos pela direita a função tenderá a +infinito.

2) Como as alternativas afirmam quanto a inclinação da curva (crescente/decrescente), vamos avaliar o sinal da derivada primeira. Intervalos de derivada positiva indicam um intervalo crescente, e negativa intervalos decrescentes.
f '(x) = -12/(3x-6)²
O denominador (3x-6)² é sempre positivo, logo a derivada será sempre negativa e, portanto, a curva é decrescente em todo seu domínio. Veja parte dessa curva:

: Sem título.png (9.1 KiB) Exibido 61769 vezes

3) As alternativas aqui abordam a concavidade da curva. Como a derivada segunda f ''(x) = 8/[3(x-2)³] não possui zeros (verificar!), ou seja, possíveis inflexões da curva, vamos dividir a analise na sua indeterminação (x=2).
A concavidade é dada pelo sinal da derivada segunda, se positiva a concavidade é para cima, se negativa concavidade para baixo.
Para x<2 a derivada segunda tem valores negativos, logo concavidade para baixo.
Para x>2 a derivada segunda tem valores positivos, logo concavidade para cima.
I -> Errada
II -> Certo
III -> Certo

Qualquer duvida, deixa msg.

por **ezidia51** » Sáb Set 15, 2018 19:41

muito muito obrigada!!

por **Gebe** » Sáb Set 15, 2018 20:34

por **ezidia51** » Ter Set 25, 2018 21:09

Olá ,você poderia olhar estes exercícios para ver se estão corretos?Obrigado

por **Gebe** » Ter Set 25, 2018 22:19

1) certo
2a) Tem um erro na integração do "6x^5", fica apenas x^6 e não (x^6)/6.
2b) Aqui tu te enganou ao integrar o "cos(x)". A integral de cos(x) é sen(x) e não -sen(x). Ajuda a lembrar pensando: "Que função ao derivarmos tem como resultado cos(x)".
2c) certo

por **ezidia51** » Ter Set 25, 2018 23:00

Ah entendi!!!Muito obrigado.Então o exercício 2b ficaria sen(x)+cos(x)+C

por **Gebe** » Ter Set 25, 2018 23:09

exato, sen(x)+cos(x)+C

por **ezidia51** » Ter Set 25, 2018 23:13

Valeu!!Um super muito obrigado!!! :y:

por **ezidia51** » Sex Set 28, 2018 15:05

Olá tudo bem?Você poderia me ajudar a resolver esses problemas envolvendo cálculo de área de gráfico?Fico muito agradecida se vc puder me ajudar.
1-Calcule a área da região abaixo do gráfico da função ${5x}^{4}+{x}^{2}-1$ , acima do eixo das abscissas, e entre as retas verticais x=1 e x=3.

2-6-Calcule a área da região limitada pelos gráficos das funções
(Sugestão: Esboce os gráficos de f(x)=x^6 e g(x)=x^2 , determine os pontos de intersecção, marque a região A e descubra qual é o gráfico que limita A por cima e qual é o gráfico que limita A por baixo).

Os exercícios pedem que seja feito um cálculo para expressar essas áreas e eu não sei como fazer.Segue anexo os exercícios.

por **Gebe** » Sex Set 28, 2018 21:42

A area definida por uma (ou mais funções) pode ser determinada por integração.
A integral de uma função determina a area entre a sua curva e o eixo das abscissas (quando a função é dada em "x").
ex.:

: areas.png (6.51 KiB) Exibido 61529 vezes

Observe que no segundo exemplo a integral dará um valor negativo, logo colocamos o sinal negativo na frente.
Uma das consequencias dessa ultima observação é que funções que tenham parte positiva e parte negativa ( ex.: sen(x) ), devem ser particionadas para uma correta determinação da area. Por exemplo, se tentarmos achar a area entre sen(x) de 0 a 2pi (um periodo inteiro) e o eixo "x" sem particionar previamente o seno acharemos o valor 0.

Com isso dito, a dica é, sempre que possivel, desenhe as curvas antes de começar os calculos.

1) Aqui queremos a area entre a curva dada e o eixo "x". As retas verticais mencionadas são os limites laterais desta area, ou seja, serão os limites de integração.

: area1.png (3.98 KiB) Exibido 61529 vezes

$\\ Area=\int_{1}^{3} \left( 5x^4+x^2-1 \right)dx\\ \\ Area = \left[x^5+\frac{1}{3}x^3-x\right|_{1}^3\\ \\ Area = \left(3^5+\frac{1}{3}3^3-3 \right) - \left(1^5+\frac{1}{3}1^3-1 \right)\\ \\ Area = \frac{746}{3}\approx248.67$

2) Perceba aqui que não é dado os limites laterais da area. Estes limites serão dados pela intersecção das duas curvas como pode ser visto no desenho abaixo.

: area2.png (8.6 KiB) Exibido 61529 vezes

obs.: f(x) em vermelho e g(x) em azul

Sabemos que a integral nos da a area entre a curva e o eixo "x", portanto a area destacada (entre as curvas) pode ser escrita como a area da curva que limita superiormente ( g(x) ) subtraindo-se a area da curva que limita inferiormente a a região destacada.
$\\ Area=\int_{}^{} g(x)dx-\int_{}^{} f(x)dx\\$

Para pode calcular essa area precisamos dos limites de integração. Esses limites, como já mencionado, são dados pela intersecção das curvas. Para achar achar estes valores, fazemos:
$\\ g(x)=f(x)\\ \\ x^6 = x^2\\ \\ x^4 = 1\\ \\ x = \pm 1$

$\\ Area=\int_{-1}^{1} g(x)dx-\int_{-1}^{1} f(x)dx\\ \\ Area=\int_{-1}^{1} \left( g(x)-f(x) \right)dx\\ \\ Area=\int_{-1}^{1}\left(x^2-x^6 \right)dx\\ \\ Area=\left(\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{7}x^7\right|_{-1}^1\\ \\ Area=\left(\frac{1}{3}1^3-\frac{1}{7}1^7 \right)-\left(\frac{1}{3}(-1)^3-\frac{1}{7}(-1)^7 \right)\\ \\ Area=\frac{8}{21}\approx0.381$

Qualwuer duvida deixa msg.