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Reta tangente

Reta tangente

Mensagempor Joao buck » Sáb Out 07, 2017 17:40

Nao estou conseguindo entender como resolver esse exercicio, ajuda pf:
Encontre as equaçoes das retas tangendes a elipse x² + 4y²=36 que passam pelo ponto (12,3)
Joao buck
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Re: Reta tangente

Mensagempor nakagumahissao » Seg Fev 26, 2018 20:04

Esta é uma questão um tanto difícil de ser resolvida.

Vamos partir do fato que, derivando implicitamente a equação, teremos como declividade:

{x}^{2} + 4{y}^{2}=36 \Rightarrow 2xdx + 8ydy = 0 \Rightarrow \frac{dx}{dy} = -\frac{x}{4y}

Agora, vamos isolar 4{y}^{2}
4{y}^{2} = 36 - {x}^{2} \: \: \:  [1]

A Equação da reta em qualquer ponto da elipse deverá ser:

y - {y}_{0} = \frac{dy}{dx}\left(x - {x}_{0} \right)

Sabemos um ponto desta reta (12, 3). Utilizando este ponto na equação acima, teremos:

{y}_{0} = 3, \: \: {x}_{0} = 12, \: \: y - 3 = -\frac{x}{4y}\left(x - 12 \right)

Resolvendo:

4{y}^{2} - 12y = -{x}^{2} + 12x

Usando o fato [1] acima nesta última equação, tem-se que:

(36 - {x}^{2}) - 12y = -{x}^{2} + 12x

12y = - 12x + 36

y = - x + 3

Substituindo-se este resultado para y em nossa equação original do problema, obtem-se:

{x}^{2} + 4{(- x + 3)}^{2} = 36

{x}^{2} + 4\left({x}^{2} - 6x + 9 \right) = 36

{x}^{2} + 4{x}^{2} - 24x + 36=  36

5{x}^{2} - 24x = 0

{x}^{2} - \frac{24}{5}x = 0 \Rightarrow x\left(x - \frac{24}{5} \right) = 0

Dessa maneira,

x = 0 \:\: ou \:\: x = \frac{24}{5}

O que é esperado.

Logo, y, tomando-se x = 0, deverá ser y = 3. Ponto (0, 3). E para x = 24/5, e como:

y = - x + 3

então, y deverá ser:

y = -x + 3 = -\frac{24}{5} + 3 = -\frac{9}{5}


Assim, agora podemos obter finalmente o que nos foi solicitado, ou seja, as equações das retas tangentes que passam pelo ponto (12, 3).

Para a primeira reta que passa pela elipse tocando em (0, 3) teremos:

\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{4y} = -\frac{0}{3} = 0

y - {y}_{0} = \frac{dy}{dx}\left(x - {x}_{0} \right)

y - 3 =0 \cdot \left(x - 0 \right)

y = 3

que é a equação da primeira reta que passa no ponto (0,3) e também pelo ponto (12,3).

Utilizando (24/5, -9/5), a declividade serã de:

\frac{dy}{dx} = - \frac{x}{4y} = - \frac{\frac{24}{5}}{-4 \cdot \frac{9}{5}} = \frac{2}{3}

e a reta que passa por este ponto (24/5, -9/5) e também pelo ponto (12, 3) deverá ser:

y + \frac{9}{5} = \frac{2}{3}(x - \frac{24}{5}) \Rightarrow y = \frac{2}{3}x -5


Assim, a segunta equação de reta será


y = \frac{2}{3}x -5


O método que utilizei é um tanto longa e trabalhosa. Pode ser que existam meios mais rápidos e eficientes de se resolver este problema, porém isto é o que me veio em mente. Espero ter ajudado.

Se desejar ver o grafico e essas tangentes, acesse http://simples.zapto.org/?p=675
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Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: my2009 - Qua Dez 08, 2010 21:48

Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Anonymous - Qui Dez 09, 2010 17:25

Uma função de 1º grau é dada por y=ax+b.
Temos que para x=3, y=6 e para x=4, y=8.
\begin{cases}6=3a+b\\8=4a+b\end{cases}
Ache o valor de a e b, monte a função e substitua x por 10.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Pinho - Qui Dez 16, 2010 13:57

my2009 escreveu:Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :



f(x)= 2.x
f(3)=2.3=6
f(4)=2.4=8
f(10)=2.10=20


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: dagoth - Sex Dez 17, 2010 11:55

isso ai foi uma questao da FGV?

haahua to precisando trocar de faculdade.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Thiago 86 - Qua Mar 06, 2013 23:11

Saudações! :-D
ví suaquestão e tentei resolver, depois você conta-me se eu acertei.
Uma função de 1º grau é dada por y=3a+b

Resposta :
3a+b=6 x(4)
4a+b=8 x(-3)
12a+4b=24
-12a-3b=-24
b=0
substituindo b na 1°, ttenho que: 3a+b=6
3a+0=6
a=2
substituindo em: y=3a+b
y=30+0
y=30
:coffee: