[Integral] Dois caminhos e duas respostas

por **KleinIll** » Sex Fev 22, 2013 11:30

Resolva a seguinte integral: $f(x) = \int_{}^{}{\left(x + 2 \right)}^{2}dx$

1ª Resolução:
$f(x) = \int_{}^{}{\left(x + 2 \right)}^{2}dx$

$f(x) = \int_{}^{}\left( {x}^{2} + 4x + 4 \right)dx$

$f(x) = \frac{{x}^{3}}{3} + 2{x}^{2}+ 4x + c$

2ª Resolução:
$f(x) = \int_{}^{}{\left(x + 2 \right)}^{2}dx$

u = x + 2; du = 1dx

$\int_{}^{}{u}^{2}du$

$\frac{{u}^{3}}{3} + c$

$\frac{{\left( x + 2 \right)}^{3}}{3}$

$\frac{{x}^{3}+6{x}^{2}+12x+8}{3}$

$\frac{{x}^{3}}{3}+2{x}^{2}+4x+\frac{8}{3}+c$

A minha dúvida está no resultado pois ambos são iguais exceto pelo 8/3 que o segundo método, de substituição, trouxe. Tenho certeza de que há algo errado e ficarei grato se alguém puder esclarecer esta dúvida.

por **young_jedi** » Sex Fev 22, 2013 12:39

na verdade as duas maneiras que voce fez estão corretas
o que muda e o valor das constantes que aparacem na integração
em uma voce tem

$\frac{x^3}{3}+2x^2+4x+c$

e na outra

$\frac{x^3}{3}+2x^2+4x+\frac{8}{3}+k$

portanto

$c=\frac{8}{3}+k$

por **KleinIll** » Sex Fev 22, 2013 12:57

Ok, então isto significa que dependendo do método pode haver uma constante diferente apesar da proposta de cada método ter a mesma meta?
Você pode explicar de uma forma simplificada o porquê da diferença da constante entre os métodos?

por **young_jedi** » Sex Fev 22, 2013 19:09

na verdade quando voce calcula a integral voce vai ter tambem um valor constatnte em função da integraçao
o qual voce nao sabe qual é mais que pode ser determinado se o exercicio oferecer um dado adicional.

neste caso as duas resposta são soluções gerais da integral, ambas estão corretas.

a questão é a seguinte, na resposta do segundo metodo voce pode fazer o seguinte

$\frac{x^3}{3}+2x^2+4x+\frac{8}{3}+c=\frac{x^3}{3}+2x^2+4x+k$

pois voce sabe que tanto $\frac{8}{3}$ , com c, são constantes então voce pode espressa-las em uma mesma constatnte k

por **KleinIll** » Sáb Fev 23, 2013 16:17

young_jedi, eu entendo a sua explicação, mas o fato é que resolvendo o produto notável e depois integrando ou fazendo pelo método da substituição, teoricamente, deveriam alcançar os mesmos resultados, não concorda? Os resultados foram os mesmos, mas a diferença das constantes é, na minha opinião (eu não tenho certeza absoluta), uma distorção entre os métodos que eu desconheço a origem. Concordo com tudo que vc disse e entendo seu ponto de vista, mas, pelo sim ou pelo não, a diferença tem uma explicação além desta. Obrigado pela(s) ajuda(s), caiu como uma luva.