exerc.resolvido

por **adauto martins** » Seg Out 28, 2019 16:02

(escola militar do realengo,rj-exame de admissao 1934)
estudar a variaçao e traçar o grafico de:

$y=x+\sqrt[]{(x-1)/(x+1)}$

por **adauto martins** » Seg Out 28, 2019 16:36

soluçao:
aqui vou me resumir ao calculo de maximos e minimos(variaçao da funçao).para traçar o grafico deve-se achar as raizes de y,
localizar os pontos criticos(maximos,minimos,inflexao e etc...)
o dominio da funçao e´para $x\succ -1$ ,ponto importante,que como em exercicios anteriores,nao o fiz...deve-se sempre...
entao para calcularmos os maximos,ou minimos,devemos:

y'=0

entao

$y=x+\sqrt[]{(x-1)/(x+1)} y'=x'+(\sqrt[]{(x-1)/(x+1)})'$

aqui usaremos a derivada do quociente e a regra da cadeia,pois

$\sqrt[]{(x-1)/(x+1)}$
é composta,logo:

$y'=1+(\sqrt[]{(x-1)/(x+1)})'=1+(1/2)(\sqrt[]{(x-1)/(x+1)}).((x-1)/(x+1))'(*)$

vamos calcular separadamente a funçao

g(x)=(x-1)/(x+1)

e depois recoloca-la em (*),entao

$g'=((x-1)'.(x+1)-(x-1).(x+1)')/{(x+1)}^{2} =(1.(x+1)-(x-1).1)/{(x+1)}^{2}$

voltando em(*)

$y'=1+(\sqrt[]{(x-1)/(x+1)})'=1+(1/2)(\sqrt[]{(x-1)/(x+1)}).((x-1)/(x+1))'$

$y'=1+(1/2)(\sqrt[]{(x-1)/(x+1)}).((x+1)-(x-1))/{(x+1)}^{2}=0$ $\Rightarrow$ $(\sqrt[]{(x-1)/(x+1)}).((x+1)-(x-1))=-2{(x+1)}^{2} \sqrt[]{(x-1)/(x+1)}=-2{(x+1)}^{2}/((x+1)-(x-1))$
uma equaçao racional ...

$(\sqrt[]{(x-1)/(x+1)}).((x+1)-(x-1))=-2{(x+1)}^{2} {(x-1)/(x+1)={(-2{(x+1)}^{2}/((x+1)-(x-1))}^{2}...$

para "facilitar" os calculo,podemos fazer:

y=(x+1)...z=(x-1)...
termine-o aos interessados,pois eu cansei...
mas é isso...depois calcular a derivada segunda e testar os pontos de maximos( $y''(...)\prec 0$ ) e os minimos ( $y''(...)\succ 0$ )

por **adauto martins** » Seg Out 28, 2019 17:32

derivei erroneamente a funçao y:
podemos faz. u=(x-1)/(x+1)

e...depois refaço esse exercicio...no mais,obrigado...
ps-se alguem se habilitar,faça-o...

por **adauto martins** » Seg Out 28, 2019 21:52

vamos voltar ao exercicio e resolver corretamente,assim espero...
vamos derivar a funçao
$u=\sqrt[]{(x-1)/(x+1)}$

vamos fazer z=(x+1) e w=x-1

$u=\sqrt[]{w/z}$

entao:

$u'=(1/2)(w/z)'.(\sqrt[]{z/w}) u'=(1/2)(\sqrt[]{z/w})(z-w)/{(z)}^{2}$

pois w'=z'=1...

$u'=(1/2)(\sqrt[]{z/w})(z-w)/{(z)}{2}$

logo

$y'=1+ (1/2)(\sqrt[]{z/w})(z-w)/{(z)}^{2}(*)$

z-w=(x+1)-(x-1)=2

$\Rightarrow 1+(\sqrt[]{z/w})/{(z)}^{2}=0 \sqrt[]{z/w}=-{z}^{2} z/w={z}^{4}\Rightarrow {z}^{3}w=1$

${(x+1)}^{3}.(x-1)=1\Rightarrow ({x}^{3}+3{x}^{2}+3x+1).(x-1)=1 {x}^{4}+3{x}^{3}+3{x}^{2}+x-{x}^{3}-3{x}^{2}-3x-1=1 {x}^{4}+2{x}^{3}-2x-2=0$

bom,temos agora um polinomio de quarto grau para solucionar...
1) o raio de localizaçao das raizes é dado por:

$r=1+\left|max.({a}_{k})/{a}_{n} \right|$

onde $max.{a}_{k}$ é o maior dos coeficientes do pólinomio e ${a}_{n}=1$

$r=1+\left|2/1 \right|=1+2=3$

ou seja,as raizes estao no intervalo [-3,3]
sabemos que o dominio da funçao é $x\succ -1$ ,logo

o intervalo sera (-1,3].

bom,o restante fica como exercicio...
possiveis raizes racionais (-1/2,1/2,1,2)...
ps-adiante faremos um estudo mais detalhado de raizes de polinomios...obrigado

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